2018届二轮复习小集合，大功能课件（江苏专用） 40页

专题 1 　集合与常用逻辑用语 第 1 练 　小集合，大功能 集合是高考每年必考内容，题型基本都是填空题，题目难度大多数为低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高，在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用 . 同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 1.(2016· 江苏 ) 已知集合 A ＝ { － 1,2,3,6} ， B ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 3} ，则 A ∩ B ＝ ________. 解析答案 解析 　 由于 B ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 3 }. 对 集合 A 中的 4 个元素逐一验证，－ 1 ∈ B, 2 ∈ B, 3 ∉ B, 6 ∉ B . 故 A ∩ B ＝ { － 1,2}. 1 2 3 4 5 { － 1,2} 1 2 3 4 5 2.(2015· 福建改编 ) 若集合 A ＝ {i ， i 2 ， i 3 ， i 4 }(i 是虚数单位 ) ， B ＝ {1 ，－ 1} ，则 A ∩ B ＝ ________. 解析答案 解析 　 集合 A ＝ {i ，－ 1,1 ，－ i} ， B ＝ {1 ，－ 1} ， A ∩ B ＝ {1 ，－ 1}. {1 ，－ 1} 1 2 3 4 5 3.(2016· 山东改编 ) 设集合 A ＝ { y | y ＝ 2 x ， x ∈ R } ， B ＝ { x | x 2 － 1 ＜ 0} ，则 A ∪ B ＝ ___________ _ . 解析答案 解析 　 A ＝ { y | y ＞ 0} ， B ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 1} ， 则 A ∪ B ＝ ( － 1 ，＋ ∞ ). ( － 1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 4.(2015· 四川改编 ) 设集合 A ＝ { x |( x ＋ 1)( x － 2) ＜ 0} ，集合 B ＝ { x |1 ＜ x ＜ 3} ，则 A ∪ B ＝ ___________ _ ____. 解析答案 解析 　 ∵ A ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 2} ， B ＝ { x |1 ＜ x ＜ 3} ， ∴ A ∪ B ＝ { x | － 1 ＜ x ＜ 3}. { x | － 1 ＜ x ＜ 3} 1 2 3 4 5 5.(2016· 北京改编 ) 已知集合 A ＝ { x || x |<2} ， B ＝ { － 1 ， 0,1,2,3} ，则 A ∩ B ＝ ________. 解析答案 解析 　 由 A ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 2} ，得 A ∩ B ＝ { － 1,0,1}. { － 1,0,1} 返回 高考 必会题型 题型一　单独命题独立考查 常用的运算性质及重要结论： (1) A ∪ A ＝ A ， A ∪ ∅ ＝ A ， A ∪ B ＝ B ∪ A ； (2) A ∩ A ＝ A ， A ∩ ∅ ＝ ∅ ， A ∩ B ＝ B ∩ A ； (3) A ∩ ( ∁ U A ) ＝ ∅ ， A ∪ ( ∁ U A ) ＝ U ； (4) A ∩ B ＝ A ⇔ A ⊆ B ⇔ A ∪ B ＝ B . 例 1 　 (1)(2015· 广东改编 ) 若集合 M ＝ { x |( x ＋ 4)( x ＋ 1) ＝ 0} ， N ＝ { x |( x － 4)( x － 1) ＝ 0} ，则 M ∩ N ＝ ________. 解析答案 解析　 因为 M ＝ { x |( x ＋ 4)( x ＋ 1) ＝ 0} ＝ { － 4 ，－ 1} ， N ＝ { x |( x － 4)( x － 1) ＝ 0} ＝ {1,4} ， 所以 M ∩ N ＝ ∅ . ∅ (2) 已知集合 A ＝ { x |log 2 x ≤ 2} ， B ＝ ( － ∞ ， a ) ，若 A ⊆ B ，则实数 a 的取值范围是 ( c ，＋ ∞ ) ，其中 c ＝ ________. 解析答案 解析　 由 log 2 x ≤ 2 ，得 0 ＜ x ≤ 4 ， 即 A ＝ { x |0 ＜ x ≤ 4} ，而 B ＝ ( － ∞ ， a ) ，由 A ⊆ B ， 如 图所示，则 a ＞ 4 ，即 c ＝ 4. 点评 4 (1) 弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即 “ | ” 前面的表述 . ( 2) 当集合之间的关系不易确定时，可借助 Venn 图或列举实例 . 点评 变式训练 1 　 (1)(2015· 浙江改编 ) 已知集合 P ＝ { x | x 2 － 2 x ≥ 0} ， Q ＝ { x |1 ＜ x ≤ 2} ，则 ( ∁ R P ) ∩ Q ＝ ______. 解析答案 解析　 ∵ P ＝ { x | x ≥ 2 或 x ≤ 0} ， ∁ R P ＝ { x |0 ＜ x ＜ 2} ， ∴ ( ∁ R P ) ∩ Q ＝ { x |1 ＜ x ＜ 2}. (1,2) (2) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0} ， B ＝ { x |0 ≤ ax ＋ 1 ≤ 3} ，若 A ∪ B ＝ B ，求实数 a 的取值范围 . 解析答案 解　 ∵ A ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0} ＝ {1,2} ， 又 ∵ B ＝ { x |0 ≤ ax ＋ 1 ≤ 3} ＝ { x | － 1 ≤ ax ≤ 2} ， ∵ A ∪ B ＝ B ， ∴ A ⊆ B . ① 当 a ＝ 0 时， B ＝ R ，满足题意 . 题型二　集合与其他知识的综合考查 集合常与不等式、向量、数列、解析几何等知识综合考查 . 集合运算的常用方法： (1) 若已知集合是不等式的解集，用数轴求解； (2) 若已知集合是点集，用数形结合法求解； (3) 若已知集合是抽象集合，用 Venn 图求解 . 解析 点评 答案 1< r < R <3 ∴ 点 Q 在以原点为圆心，半径为 2 的圆上 . ∴ 曲线 C 为单位圆 . 点评 以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何 . 对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化 . 点评 变式训练 2 　函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ，集合 A ＝ {( x ， y )| f ( x ) ＋ f ( y ) ≤ 2} ， B ＝ {( x ， y )| f ( x ) ≤ f ( y )} ，则由 A ∩ B 的元素构成的图形的面积是 ________. 解析　 集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ 2 x ＋ y 2 ＋ 2 y ≤ 2} ， 可 得 ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ≤ 4 ，集合 B ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ 2 x ≤ y 2 ＋ 2 y } ， 可 得 ( x － y )·( x ＋ y ＋ 2) ≤ 0 . 在 平面直角坐标系上画出 A ， B 表示的图形可知 A ∩ B 的元素构成的图形的面积为 2π. 2π 解析答案 题型三　与集合有关的创新题 解析 点评 与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解，在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等 . 例 3 　 设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意 x ， y ∈ S ，都有 x ＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，则称 S 为封闭集 . 下列命题： ① 集合 S ＝ { a ＋ b i| a ， b 为整数， i 为虚数单位 } 为封闭集； ② 若 S 为封闭集，则一定有 0 ∈ S ； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 S 为封闭集，则满足 S ⊆ T ⊆ C 的任意集合 T 也是封闭集 . 其中的真命题是 ________.( 写出所有真命题的序号 ) √ √ 点评 解析　 ① 正确，当 a ， b 为整数时，对任意 x ， y ∈ S ， x ＋ y ， x － y ， xy 的实部与虚部均为整数 ； ② 正确，当 x ＝ y 时， 0 ∈ S ； ③ 错误，当 S ＝ {0} 时，是封闭集，但不是无限集 ； ④ 错，设 S ＝ {0} ⊆ T ， T ＝ {0,1} ，显然 T 不是封闭集，因此，真命题为 ①② . 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： (1) 紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； (2) 用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质 . 点评 变式训练 3 　在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “ 类 ” ，记为 [ k ] ，即 [ k ] ＝ {5 n ＋ k | n ∈ Z ， k ＝ 0,1,2,3,4}. 给出如下四个结论： ① 2 016 ∈ [1] ； ② － 3∈[3] ； ③ Z ＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ； ④“ 整数 a ， b 属于同一类 ” 的充要条件是 “ a － b ∈ [ 0 ] ”. 其中，正确结论的个数是 ________. 解析 返回 答案 3 解析　 对于 ① ： 2 016 ＝ 5×403 ＋ 1 ， ∴ 2 016∈[1] ，故 ① 正确； 对于 ② ：－ 3 ＝ 5×( － 1) ＋ 2 ， ∴ － 3∈[2] ，故 ② 不正确； 对于 ③ ： ∵ 整数集 Z 被 5 除，所得余数共分为五类 . ∴ Z ＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ，故 ③ 正确； 对于 ④ ：若整数 a ， b 属于同一类， 则 a ＝ 5 n 1 ＋ k ， b ＝ 5 n 2 ＋ k ， ∴ a － b ＝ 5 n 1 ＋ k － (5 n 2 ＋ k ) ＝ 5( n 1 － n 2 ) ＝ 5 n ， ∴ a － b ∈[0] ，若 a － b ＝ [0] ，则 a － b ＝ 5 n ，即 a ＝ b ＋ 5 n ， 故 a 与 b 被 5 除的余数为同一个数， ∴ a 与 b 属于同一类， ∴“ 整数 a ， b 属于同一类 ” 的充要条件是 “ a － b ∈[0]” ， 故 ④ 正确， ∴ 正确结论的个数是 3. 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 5 1.(2015· 天津改编 ) 已知全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ，集合 A ＝ {2,3,5,6} ，集合 B ＝ {1,3,4,6,7} ，则集合 A ∩ ( ∁ U B ) ＝ ________. 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 由题意知， ∁ U B ＝ {2,5,8} ，则 A ∩ ( ∁ U B ) ＝ {2,5}. {2,5} 2.(2015· 陕西改编 ) 设集合 M ＝ { x | x 2 ＝ x } ， N ＝ { x |lg x ≤ 0} ，则 M ∪ N ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 由题意得 M ＝ {0,1} ， N ＝ (0,1] ，故 M ∪ N ＝ [0,1]. [0,1] 3.(2016· 四川改编 ) 集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ， Z 为整数集，则 A ∩ Z 中元素的个数是 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 由题意， A ∩ Z ＝ { － 2 ，－ 1,0,1,2} ，故其中的元素个数为 5. 5 4. 设全集 U ＝ R ， A ＝ { x | x 2 － 2 x ≤ 0} ， B ＝ { y | y ＝ cos x ， x ∈ R } ，则图中阴影部分表示的区间是 ________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 因为 A ＝ { x |0 ≤ x ≤ 2} ＝ [0,2] ， B ＝ { y | － 1 ≤ y ≤ 1} ＝ [ － 1,1] ， 所以 A ∪ B ＝ [ － 1,2] ， 所以 ∁ R ( A ∪ B ) ＝ ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ). ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 5. 已知集合 A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 1} ， B ＝ { x | x 2 － 2 x ＜ 0} ，则 A ∪ ( ∁ R B ) 等于 ______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 ∵ A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 1} ， B ＝ { x | x 2 － 2 x ＜ 0} ＝ { x |0 ＜ x ＜ 2} ， ∴ ∁ R B ＝ ( － ∞ ， 0] ∪ [2 ，＋ ∞ ) ， ∴ A ∪ ( ∁ R B ) ＝ ( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ). ( － ∞ ， 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 [ － 2,1] 即 a < x < a ＋ 1 ，则 a ≥ － 2 且 a ＋ 1 ≤ 2 ，即－ 2 ≤ a ≤ 1. 8. 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 2 017 x ＋ 2 016 ＜ 0} ， B ＝ { x |log 2 x ＜ m } ，若 A ⊆ B ，则整数 m 的最小值是 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析 　 由 x 2 － 2 017 x ＋ 2 016 ＜ 0 ，解得 1 ＜ x ＜ 2 016 ， 故 A ＝ { x |1 ＜ x ＜ 2 016 }. 由 log 2 x ＜ m ，解得 0 ＜ x ＜ 2 m ，故 B ＝ { x |0 ＜ x ＜ 2 m }. 由 A ⊆ B ，可得 2 m ≥ 2 016 ，因为 2 10 ＝ 1 024 ， 2 11 ＝ 2 048 ， 所以 整数 m 的最小值为 11. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知集合 A ＝ { x | y ＝ lg( x － x 2 )} ， B ＝ { x | x 2 － cx <0 ， c >0} ，若 A ⊆ B ，则实数 c 的取值范围是 ___ _ ______. 解析 　 A ＝ { x | y ＝ lg( x － x 2 )} ＝ { x | x － x 2 >0} ＝ (0,1) ， B ＝ { x | x 2 － cx <0 ， c >0} ＝ (0 ， c ) ， 因为 A ⊆ B ，画出数轴，如图所示，得 c ≥ 1. [1 ，＋ ∞ ) 解析答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 设集合 S n ＝ {1,2,3 ， … ， n } ，若 X ⊆ S n ，把 X 的所有元素的乘积称为 X 的容量 ( 若 X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为 0). 若 X 的容量为奇 ( 偶 ) 数，则称 X 为 S n 的奇 ( 偶 ) 子集，则 S 4 的所有奇子集的容量之和为 ________. 解析 　 ∵ S 4 ＝ {1,2,3,4} ， ∴ X ＝ ∅ ， {1} ， {2} ， {3} ， {4} ， {1,2} ， {1,3} ， {1,4} ， {2,3} ， {2,4} ， {3,4} ， {1,2,3} ， {1,2,4} ， {1,3,4} ， {2,3,4} ， {1,2,3,4}. 其中是奇子集的为 X ＝ {1} ， {3} ， {1,3} ，其容量分别为 1,3,3 ， ∴ S 4 的所有奇子集的容量之和为 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7 12. 已知集合 A ＝ { x |1 ＜ x ＜ 3} ，集合 B ＝ { x |2 m ＜ x ＜ 1 － m }. (1) 当 m ＝－ 1 时，求 A ∪ B ； 解　 当 m ＝－ 1 时， B ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 2} ， 则 A ∪ B ＝ { x | － 2 ＜ x ＜ 3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 若 A ⊆ B ，求实数 m 的取值范围； 解得 m ≤ － 2 ，即实数 m 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (3) 若 A ∩ B ＝ ∅ ，求实数 m 的取值范围 . 解　 由 A ∩ B ＝ ∅ ，得 解析答案 返回 综上知 m ≥ 0 ，即实数 m 的取值范围为 [0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12