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- 2021-05-12 发布
汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考
数学试题（理科）
（满分 ：150 分； 完卷时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合 { | 2}A x N x ， { 1,1}B ，则 A B ( )
.{ 1,0,1,2}A .{ 1,1,2}B
.{1}C .{0,1,2}D
2．命题“对任意的 xR ,都有 3 22 3 1 0x x x ”的否定是( )
A.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x B.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x
C.不存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x D.对任意的 xR ,都有
3 22 3 1 0x x x
3．已知两个随机变量 ,x y 之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为
y bx a ，则大致可以判断( )
. 0, 0A a b . 0, 0B a b
. 0, 0C a b . 0, 0D a b
4．已知 , 是两个不同的平面， ,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若 ,m m
⫋
，则 ；
②若 ,m n m ，则 / /n ；
③若 , / /m n m ，且 n ⊈ ， n ⊈ ，则 / /n 且 / /n ；
④若 / / ,m ，则 m ．其中真命题的个数是( )
A.0 B. 1
C. 2 D.
x -4 -2 1 2 4
y -5 -3 -1 -0.5 1
3
5．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常
见的条形码是“ 13EAN ”通用代码，它是由从左到右排列的13 个数字（用 1a ， 2a ，…， 13a
表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中 13a 是校验
码，用来校验前12 个数字代码的正确性．图 1 是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号
m 表示不超过 m 的最大整数（例如 365.7 365 ）．现有一条形码如图（2）所示
（ 397 7107202551a ），其中第3 个数被污损，那么这个被污损数字 3a 是( )
A．9 B．8 C． 7 D． 6
6．将函数 xxf sin)( 的图象向右平移
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸
长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是( )
A． ( ) sin(2 )10f x x B． ( ) sin(2 )5f x x C． ( ) sin( )2 10
xf x
D． ( ) sin( )2 20
xf x
7．已知 1( ) lnf x xx
在区间 (1,2) 内有一个零点 0x ，若用二分法求 0x 的近似值
(精度为 0.2 )，则最少需要将区间等分的次数为( )
.A 3 .B 4
.C 5
.D 6
8. 设log 2 log 2 0a b ，则( )
.0 1A a b .0 1B b a . 1C a b . 1D b a
9. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 1 2,O O ，这两个球相外切，且球 1O 与正方
体共顶点 A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切，则两球在
正方体的面 1 1AAC C 上的正投影是( )
A. B． C． D．
10. 已知非零向量 ,a b
满足| | 2 | |a b ，且 ( )a b b ，则 a
与b
的夹角为( )
. 6A . 3B 2. 3C 5. 6D
11. 1 2,F F 是双曲线
2
2
1 : 13
yC x 与椭圆 2C 的公共焦点，点 A 是 1 2,C C 在第一象限的公共
点．若 1 2 1| | | |F F F A ，则 2C 的离心率是( )
1. 3A 2. 3B 1. 5C 2. 5D
12.已知定义在 R 的函数 ( )y f x 对任意的 x 满足 ( 1) ( )f x f x ，当 1 1x ，
3( )f x x ．函数
|log |, 0
( ) 1 0
a x x
g x
xx
， ，若函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x 在[ 6 ) ， 上有 6 个
零点，则实数 a 的取值范围是( )
A. 1(0 ) (7 )7
， ， B. 1 1( ] [7 9)9 7 ， ， C. 1 1[ ) (7 9]9 7 ， ，
D. 1[ 1) (1 9]9 ， ，
二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案写在答题卡上）
13.在不等式组
0
02
01
y
yx
yx
，所表示的平面区域内随机地取一点 P，则点 P 恰好落在第二象
限的概率为 .
14.已知 1x ，求 1( ) 1f x x x
的最小值为 .
15.计算：化简
0
0 0
0 0
1 cos20 1sin10 ( tan5 )2sin 20 tan5
的值为 .
16.作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内
切圆.如此下去，第 n 个内切圆的半径为 .)2
1(6
3 1aa n
n
这是一个以 a6
3 为首项，
2
1 为公
比的等比数列 }{ na .于是前 n 个内切圆的面积和为 )2
11(9 2
2
22
2
2
1 nnn
aaaaS .
现在，作边长为 a 的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后，再作新正四面
体的内切球，如此下去，则前 n 个内切球的表面积之和 nT = .
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(10 分)已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)设 cn＝
1
2
nnaa ，n∈N*，求证：数列{cn}的前 n 项和 Tn
3
1 .
18.(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD ， 1AB ，
点 E 为棱 PC 的中点. , / / , 2AD AB AB DC AD DC AP .
（1）证明： BE DC ；（2）求二面角 E AB P 的大小.
19．(12 分)已知函数 2( ) 1 2 3sin cos 2cosf x x x x m 在 R 上的最大值为 3.
（1）求 m 的值及函数 ( )f x 的单调递增区间;
（2）若锐角 ABC 中角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，且 ( ) 0f A ，求 b
c
的取值范
围.
20.(12 分)2017 年两会继续关注了乡村教师的问题,随着城乡发展失衡,乡村教师待遇得不到
保障,流失现象严重,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此,某市今年要为某所乡村
中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要 2 万元,若三年后教师严重短缺时再
招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要 5 万元,已知现在该乡村中学无多余教师,为决策
应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市 100 所乡村中学在过去三年内的教师流失数,得到如下
的柱状图：记 x 表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数,y 表示一所乡村中学未来四年
内在招聘教师上所需的费用(单位：万元)，n 表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡
村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.
（1）若 19n ，求 y 与 x 的函数解析式;
（2）假设今年该市为这 100 所乡村中学的每一所都招聘了 19 个教师或 20 个教师，分别计算
该市未来四年内为这 100 所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年
该乡村中学应招聘 19 名还是 20 名教师?
21.(12 分)圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方, x 轴被圆 C 截得的弦长为
52 .
(1)求圆 C 的方程;
(2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在，求
出 l 的方程;若不存在，说明理由.
22．(12 分)已知函数 2( ) 2 1g x x ax ，且函数 ( 1)y g x 是偶函数，设 ( )( ) g xf x x
(1)求 ( )f x 的解析式;
(2)若不等式 (ln ) lnf x m x ≥0 在区间(1，e2]上恒成立，求实数 m 的取值范围;
(3)若方程
2( 2 1) 2 0
2 1
x
xf k
有三个不同的实数根，求实数 k 的取值范围.
汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考
理科答案及评分细则
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A D C B C A B B B B C
二．填空题
13. 14.3 15. 16.
17.(1)设等差数列的公差为 d，则由题意可得
a1＋2d＝7，
2a1＋10d＝26，解得
a1＝3，
d＝2。 ……3 分
所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1。……4 分
(2)因为 cn＝ ＝ ，……7 分
所以 cn＝
1
2n＋3。
所以 Tn＝
1
2n＋3＝
1
2n＋3 。……10 分
18.
⑴证明：取 中点 ，连接
分别是 的中点
四边形 是平行四边形
面 , ……2 分
, ……4 分
面
……5 分
⑵由（1）知 ，
∴ 为二面角 的平面角……9 分
又∵ ，∴ 为等腰直角三角形
又∵ 为 中点，∴ ……11 分
二面角 的大小 ……12 分
19.（1）解：
……2 分
由已知 ，所以 ……3 分
因此
令
得
因此函数 的单调递增区间为 ……5 分
（2）解：由已知 ，∴
由 得 ，因此
所以 ……7 分
……10 分
因为为锐角三角形 ，所以 ，解得
因此 ，那么 ……12 分
20. （1）解:当 时, y=2×19=38 万……2 分
当 x>19 时,y=38+5(x−19)=5x−57 万，
所以 y 与 x 的函数解析式为 ……5 分
（2）解:若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所
在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 4 8 万元,因此这 100 所
乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 ×(3 8×70+4 3×20+4 8×10)=4
0 万元。……8 分
若每所乡村中学在今年都招聘 20 名教师,则这 100 所乡村中学中有 90 所在招聘师上的费用为
4 0 万元,10 所的费用为 4 5 万元,因此未来四年内这 100 所乡村中学在招聘教师上所需费用
的平均数为 ×(4 0×90+4 5×10)=4 0.5 万元。……11 分
比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘 19 名教师。……12 分
21.因为圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,所以设 C(m,-2m),m>0,……2 分
则已知可得(2m)2+( )2=32,解得 m=1，故圆 C 的方程是(x-1)2+(y+2)2=9.
……5 分
(2)设直线 l 的方程为 y=x+b,以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB,设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1x2+y1y2=0.……7 分 ①
由 得 2x2+(2b+2)x+(b2+4b-4)=0,……9 分
要使方程有两个相异实根,则Δ=(2+2b)2-4×2(b2+4b-4)>0,……10 分
x1+x2=-1-b,x1x2 . 由 y1=x1+b,y2=x2+b, 代 入 ① x1x2+y1y2=0, 得
2x1x2+(x1+x2)·b+b2=0,
即有 b2+3b-4=0,解得 b=-4,b=1.故存在直线 l 满足条件,且方程为 y=x-4 或 y=x+1. ……12 分
22.(1) 函数 的对称轴为 ，
因为 向左平移 1 个单位得到 ，且 是偶函数，
所以 ，……2 分
所以 .……3 分（不写定义域扣 1 分）
(2)
即 ……5 分
又 ，所以 ，则
因为 ，所以实数 的取值范围是 .……7 分
(3) 方程 即
化简得
令 ，则 ……8 分
若方程 有三个不同的实数根，
则方程 必须有两个不相等的实数根 ，
且 或 ，……10 分
令
当 时，则 ，即 ，
当 时， ， ， ，舍去，
综上，实数 的取值范围是 .……12 分