2020届二轮复习（文）基础考点第5讲　数学文化课件（41张） 41页

第5讲　数学文化 总纲目录 考点五　逻辑与推理中的数学文化 考点四　概率中的数学文化 考点三　算法中的数学文化 考点一　立体几何中的数学文化 考点二　数列中的数学文化 考点一　立体几何中的数学文化 1 .我国古代数学名著《九章算术》中记载了刍甍,刍甍的底面是有长有宽的 矩形,顶部只有长没有宽,为一条棱.如图为一刍甍的三视图,其中正视图为等 腰梯形,侧视图为等腰三角形.则它的体积为   (　　)   A A.   　    B.160 C.   　    D.64 答案    A 　根据三视图可将该刍甍分割为两个四棱锥和一个三棱柱来求其 体积. 由题意知 V =2 ×   × 4 × 2 × 4+   × 4 × 4 × 4=   +32=   .故选A. 2 .我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,与题中描绘的器 具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位:寸).若在某地下雨天 时,利用该器具接的雨水的深度为6寸,则这一天该地的平均降雨量约为   注: 平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积.参考公式:圆台的体积 V =   π h ( R 2 + r 2 + R · r ),其中 R , r 分别表示上、下底面的半径, h 为高     (　　) A   A.2寸　    B.3寸 C.4寸　    D.5寸 答案    A 　由三视图可知,该器具的上底面半径为12寸,下底面半径为6寸,高 为12寸.因为所接雨水的深度为6寸,所以水面半径为   × (12+6)=9(寸), 则盆中水的体积为   π × 6 × (6 2 +9 2 +6 × 9)=342π(立方寸), 所以这一天该地的平均降雨量约为   ≈ 2(寸),故选A. 总结提升 立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体 积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖 臑”“堑堵”“刍甍”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视 图、几何体的体积与表面积等. 考点二　数列中的数学文化 1 .(2019湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问 题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几 何?”意思是:“现有一金箠,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4 斤,在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤?”设该金箠由粗到 细是均匀变化的,其质量为 M ,现将该金箠截成长度相等的10段,记第 l 段的质 量为 a i ( i =1,2, … ,10),且 a 1 < a 2 < … < a 10 ,若48 a i =5 M ,则 i =   (　　) A.4　    B.5　    C.6　    D.7 C 答案    C　 由题意知,由细到粗每段的质量组成一个等差数列,记为{ a n },设公 差为 d ,则有   ⇒   ⇒   所以该金箠的总质量 M =10 ×   +   ×   =15. 因为48 a i =5 M ,所以有48   =75,解得 i =6,故选C. 2 .中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七 日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数 是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7 天,则它这14天内所走的总路程为   (　　) A.   里　    B.1 050里　    C.   里　    D.2 100里 C 答案    C 　由题意可知,该匹马每天行走的路程组成一个等比数列,设该数列 为{ a n },该匹马首日行走的路程为 a 1 ,易知公比为   ,则有   =700,则 a 1 =   ,则   =   ,故该匹马这14天内所走的总路程为   里. 3 .中国古代数学专著《九章算术》中有如下问题:今有牛、马、羊食人苗,苗 主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之, 问各出几何?此问题的译文如下:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人 要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说: “我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按比例偿还,他们各应偿还多少? 已知牛、马、羊的主人应分别偿还 a 升, b 升, c 升(1斗为10升).则下列判断正确 的是   (　　) A. a , b , c 依次构成公比为2的等比数列,且 a =   D B. a , b , c 依次构成公比为2的等比数列,且 c =   C. a , b , c 依次构成公比为   的等比数列,且 a =   D. a , b , c 依次构成公比为   的等比数列,且 c =   答案    D 　由题意知, a , b , c 构成公比为   的等比数列,三者之和为50,即 c +2 c +4 c =50,解得 c =   ,故选D. 4 .(2019江西赣州十四县(市)联考)古代有这样一个问题:“今有墙厚22.5尺,两 鼠从墙的两侧同时打洞,大鼠第一天打洞一尺,小鼠第一天打洞半尺,大鼠之 后每天打洞长度比前一天多半尺,小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍, 三天之后小鼠每天打洞长度与第三天长度相同,问两鼠几天能打通墙相 逢?”两鼠相逢最快需要的天数为   (　　) A.4　    B.5　    C.6　    D.7 答案    C 　依题意得,大鼠每天打洞长度构成等差数列{ a n },且首项 a 1 =1,公差 d =   .小鼠前三天打洞长度之和为   +1+2=   ,之后每天打洞长度是2,令 n ·1+   ·   +   +( n -3)·2 ≥ 22   ( n 指天数,且 n 是正整数),则有 n 2 +11 n -100 ≥ 0,即 n ( n +1 1) ≥ 100,则易知 n 的最小值为6.故选C. 总结提升 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问 题为背景,考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前 n 项和公式. 考点三　算法中的数学文化 1 .公元三世纪中期,数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多 边形面积可无限逼近圆的面积,并因此创立了割圆术.利用割圆术,刘徽得到 了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是 利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的 n 为(参考数据:sin 15 ° ≈ 0.258 8, sin 7.5 ° ≈ 0.130 5)   (　　) B A.12　    B.24　    C.36　    D.48 答案    B　 按照程序框图执行, n =6, S =3sin 60 ° =   ,不满足条件 S ≥ 3.10,执行 循环体; n =12, S =6sin 30 ° =3,不满足条件 S ≥ 3.10,执行循环体; n =24, S =12sin 15 ° ≈ 12 × 0.258 8=3.105 6,满足条件 S ≥ 3.10,跳出循环,输出 n 的值为24,故选B. 2 .我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明,戍边的官兵通过在烽火台 上举火传递信息,烽火台上点火表示数字1,不点火表示数字0,这蕴含了进位 制的思想.图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传 信”.执行该程序框图,若输入 a =110 011, k =2, n =7,则输出的 b =(　　)   C A.19　    B.31　    C.51　    D.63 答案    C　 按照程序框图执行, b 依次为0,1,3,3,3,19,51,当 b =51时, i = i +1=7,跳出 循环,故输出 b =51.故选C. 3 .《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”可以用来求 两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减 多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定 两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步;第二 步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减 小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简 的数的乘积就是所求的最大公约数.“更相减损术”的程序框图如图所示,如 果输入的 a =114, b =30,则输出的 n 为   (　　) C   A.3　    B.6　    C.7　    D.30 答案    C      a =114, b =30, k =1, n =0, a , b 都是偶数, a =57, b =15, k =2, a , b 不满足都为偶 数, a = b 不成立, a > b 成立, a =57-15=42, n =0+1=1; a = b 不成立, a > b 成立, a =42-15=2 7, n =1+1=2; a = b 不成立, a > b 成立, a =27-15=12, n =2+1=3; a = b 不成立, a > b 不成立, a =15, b =12, a =15-12=3, n =3+1=4; a = b 不成立, a > b 不成立, a =12, b =3, a =12-3=9, n = 4+1=5; a = b 不成立, a > b 成立, a =9-3=6, n =5+1=6; a = b 不成立, a > b 成立, a =6-3=3, n = 6+1=7; a = b 成立,输出的 kb =6, n =7. 总结提升 算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景,涉及辗转相除法、更 相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术等教材中出现的算法案例. 考点四　概率中的数学文化 1 .(2019课标全国Ⅲ,4,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼 梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校 学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或 《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西 游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学 生人数与该校学生总数比值的估计值为   (　　) A.0.5　    B.0.6　    C.0.7　    D.0.8 C 答案    C　 在样本中,仅阅读过《西游记》的学生人数为90-80=10,又由既阅 读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数为60,得阅读过《西游记》 的学生人数为10+60=70,所以在样本中阅读过《西游记》的学生人数所占的 比例为   =0.7,即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值 的估计值. 2 .齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌 的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下 等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,田忌获胜的概率是   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   A 答案    A 　从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,对阵情况如下表: 双方马的对阵中,有3种对阵情况田忌能赢,所以田忌获胜的概率 P =   =   .故选 A. 齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马 上 中 下 上 中 下 上 中 下 3 .《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾五步,股一十 二步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为 5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此 点取自内切圆内的概率是   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   C 答案    C 　因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步,所以其斜边长为 13步,设其内切圆的半径为 r ,则   × 5 × 12=   (5+12+13) r ,解得 r =2.由几何概型的 概率公式,得此点取自内切圆内的概率 P =   =   .故选C. 总结提升 概率中的数学文化题一般以优秀的传统文化为背景,考查古典概型和几何概 型. 考点五　逻辑与推理中的数学文化 1 .古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10, … ,第 n 个三角形数为   =   n 2 +   n .记第 n 个 k 边形数为 N ( n , k )( k ≥ 3),以下列 出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数     N ( n ,3)=   n 2 +   n ; 正方形数     N ( n ,4)= n 2 ; 五边形数     N ( n ,5)=   n 2 -   n ; 六边形数     N ( n ,6)=2 n 2 - n ; …… 可以推测 N ( n , k )的表达式,由此计算 N (10,24)= 　　　     . 答案 　1 000 解析 　观察 n 2 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数列,另一个成递减的 等差数列. 易知 n 2 前面的系数为   ( k -2), 而 n 前面的系数为   (4- k ). 则 N ( n , k )=   ( k -2) n 2 +   (4- k ) n , 故 N (10,24)=   × (24-2) × 10 2 +   × (4-24) × 10=1 000. 2 .天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、 乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、 巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个 地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例 如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”, …… 以此类推, 排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,然后地 支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那 么到中华人民共和国成立80周年时为 　　　     年. 答案　 己酉 解析 　易知2029年为中华人民共和国成立80周年.因为天干的周期为10,所以 2029年的天干纪年与1949年的天干纪年相同,为“己”;因为地支的周期为1 2,所以2029年的地支纪年与1957年的地支纪年相同,易知1957年的地支纪年 为“酉”.所以2029年为“己酉”年. 总结提升 推理与证明的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景,主要考查逻辑推 理.