- 306.50 KB
- 2021-05-12 发布
第2讲 三角变换与解三角形
正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：
1．边和角的计算．
2．三角形形状的判断．
3．面积的计算．
4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
热点一 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
例1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝，则tan 2α等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 ∵sin α－2cos α＝，
∴sin2α－4sin α·cos α＋4cos2α＝，
即－2sin 2α＋4×＝，
化简得4sin 2α＝3cos 2α，
∴tan 2α＝＝，故选C.
(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin(－α)，
可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，
所以sin 2α＝－，故选C.
(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin－cos α＝，则cos＝_______.
答案
解析 ∵sin－cos α＝cos α－sin α－cos α＝－sin＝，
∴sin＝－.
则cos＝1－2sin2＝.
热点二 正弦定理、余弦定理
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解 (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
所以c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＝(2b－c)cos A.
(1)求角A；
(2)若a＝7，△ABC的面积S△ABC＝10，求b＋c的值．
解 (1)由acos C＝(2b－c)cos A，
得sin Acos C＝(2sin B－sin C)cos A，
即sin Acos C＋cos Asin C＝2sin Bcos A，
即sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sin B＝2sin Bcos A.
∵sin B≠0，∴cos A＝，而00，x∈R)，且函数y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.
(1)求ω 的值及f(x)的对称轴方程；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c.若f(A)＝，sin C＝，a＝，求b 的值.
解 (1)f(x)＝cos ωx＋cos2ωx－
＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋(1＋cos 2ωx)－
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin，
由函数y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，得T＝，＝π，求得ω＝1.
当ω＝1时，f(x)＝sin.
由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，求得x＝＋(k∈Z)．
即f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由(1)知f(A)＝sin＝，即sin＝.
所以2A＋＝2kπ＋或2A＋＝2kπ＋，k∈Z，
解得A＝kπ或A＝＋kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，所以A＝.
由sin C＝，C∈(0，π)，sin A＝知，C<，
求得cos C＝.
所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
又a＝，由正弦定理得b＝＝＝.
思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．
跟踪演练3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f(x)＝sin＋cos＋msin 2x(m∈R)，f ＝2.
(1)求m的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，f ＝，△ABC的面积是，求△ABC的周长．
解 (1)∵f ＝2，
∴f ＝sin＋cos＋msin＝sin ＋cos ＋＝2，
解得m＝1.
(2)由(1)知
f(x)＝sin＋cos＋sin 2x
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2xcos －sin 2xsin ＋sin 2x
＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，
∴f ＝2sin＝.
∵00)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域．
押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高．
解 (1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)＝sin－，
因为函数f(x)的周期为T＝＝，
所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin－，
易得f(A)＝sin－.
因为sin B，sin A，sin C成等比数列，
所以sin2A＝sin Bsin C，
所以a2＝bc，
所以cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)．
因为00，sin α－cos α＝－，
因此sin α＝－，cos α＝，
tan ＝＝＝＝＝－，故选C.
4．(2017·合肥一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为( )
A．4π B．8π
C．9π D．36π
答案 C
解析 ∵bcos A＋acos B＝2，
∴b·＋a·＝2，
∴c＝2，由cos C＝，
得sin C＝，∴2R＝＝＝6，R＝3，
S＝π×32＝9π，故选C.
5．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
答案 A
解析 ∵sin 2α＝，α∈，
∴cos 2α＝－且α∈，
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴cos(β－α)＝－，
∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α
＝×＋×＝－，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，∴α＋β＝，故选A.
6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.
答案
解析 cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝(cos α＋sin α)．
又由α∈，tan α＝2知，sin α＝，cos α＝，
∴cos＝×＝.
7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为____平方千米.
答案 21
解析 设△ABC的对应边边长分别为a＝13里，b＝14里，c＝15里，
cos C＝＝⇒sin C＝⇒S＝×13×14××250 000＝21×106(平方米)
＝21(平方千米)．
8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝，cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，则BC的长为________．
答案 3
解析 因为cos∠BAD＝－，
故sin∠BAD＝＝，
在△ADC中运用余弦定理，可得
cos∠CAD＝＝，
则sin∠CAD＝＝，
所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝×＋×＝＝，
在△ABC中运用正弦定理，可得
＝⇒BC＝××＝3.
9．(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.
解 (1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)或cos B＝.
故cos B＝.
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××＝4，
所以b＝2.
10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f(x)＝sin(ωx＋φ) 满足f ＝－f(x)，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cos B＝bcos A，求f(A)的取值范围．
解 (1)∵f ＝－f(x)，
∴f(x＋π)＝－f ＝f(x)，
∴T＝π，∴ω＝2，
则f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为g(x)＝sin，而g(x)为奇函数，则有＋φ＝kπ，k∈Z，而|φ|<，则有φ＝－，
从而f(x)＝sin.
(2)∵(2c－a)cos B＝bcos A，
由正弦定理得2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈，∴sin C≠0，
∴cos B＝，∴B＝.
∵△ABC是锐角三角形，C＝－A<，
∴