【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第2讲命题及其关系学案 7页

第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.命题 (1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断 的陈述句叫作命题.其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题. (2)四种命题及其相互关系 图 1-2-1 特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性. 2.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果 p⇒q,则 p 是 q 的 条件. (2)如果 q⇒p,则 p 是 q 的 条件. (3)如果既有 p⇒q,又有 q⇒p,记作 p⇔q,则 p 是 q 的 条件. 常用结论 1.充要条件的两个结论: (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 r 的充分不必要条件,则 p 是 r 的充分不必要条件; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件. 2.充分、必要条件与集合的关系 使 p 成立的对象构成的集合 为 A,使 q 成立的对象构成的集合为 B p 是 q 的充分条件 A⊆B p 是 q 的必要条件 B⊆A p 是 q 的充分不必要条件 A ⫋ B p 是 q 的必要不充分条件 B ⫋ A p 是 q 的充要条件 A=B 题组一 常识题 1.[教材改编] 对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△ A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是 360°.其中是命题的是 .(填序号) 2.[教材改编] 有下面 4 个命题:①集合 N 中最小的数是 1;②若-a 不属于 N,则 a 属于 N;③若 a∈N,b ∈N,则 a+b 的最小值为 2;④x2+1=2x 的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为 . 3.[教材改编] 命题“若整数 a 不能被 2 整除,则 a 是奇数”的逆否命题 是 . 4.[教材改编] “点 P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的 条件. 题组二 常错题 ◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全 面;对充分必要条件判断错误. 5.命题“若 a2+b2=0,a,b∈R,则 a=b=0”的逆否命题是 . 6.已知命题“对任意 a,b∈R,若 ab>0,则 a>0”,则它的否命题是 . 7.若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是 . 8.条件 p:x>a,条件 q:x≥2. ①若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是 ; ②若 p 是 q 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 . 9.已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 的 条 件. 探究点一 四种命题及其相互关系 例 1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是 ( ) A.逆命题为“周期函数不是单调函数” B.否命题为“单调函数是周期函数” C.逆否命题为“周期函数是单调函数” D.以上都不正确 (2)给出以下四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤-1,则 x2+x+q=0 有实根”的逆否命题; ④若 ab 是正整数,则 a,b 都是正整数. 其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号) [总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写为“若 p,则 q”的形式; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例. (3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命 题的真假. 变式题 (1)已知命题 p:正数 a 的平方不等于 0,命题 q:若 a 不是正数,则它的平方等于 0,则 q 是 p 的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 (2)以下关于命题的说法正确的是 .(填写所有正确说法的序号) ①“若 log2(a+1)>1,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题; ②命题“若 a≠0,则 a(b+1)≠0”的否命题是“若 a=0,则 a(b+1)=0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b∉ M”与命题“若 b∈M,则 a∉ M”等价. 探究点二 充分、必要条件的判定 例 2 (1)[2018·北京卷] 设 a,b 均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“函数 f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于 不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断 问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题. 变式题 (1)[2018·深圳一模] 已知数列{an}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“α= π 4 ”是“sin 2α- 3 cos 2α=1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 探究点三 充分、必要条件的应用 例 3 方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 ( ) A.0b 成立的必要而不充分条件是 ( ) A.a-1>b B.a+1>b C.|a|>|b| D.a3>b3 (2)[2018·衡阳 4 月调研] 已知 p:实数 m 满足 m2+12a2<7am(a>0),q:方程 2 -1 + 2 2- =1 表示焦点在 y 轴上的 椭圆,且 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 . 第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 考试说明 1.理解命题的概念; 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系; 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 【课前双基巩固】 知识聚焦 1.真假 判断为真 判断为假 2.(1)充分 (2)必要 (3)充要 对点演练 1.④ [解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题. 2.0 [解析] ①为假命题,集合 N 中最小的数是 0;②为假命题,如 a= 1 2 不满足;③为假命题,如 a=0,b=1,则 a+b=1,比 2 小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性. 3.若整数 a 不是奇数,则 a 能被 2 整除 [解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结 论得出逆否命题. 4.既不充分也不必要 [解析] 取 x= 1 2 ,y= 1 2 ,知充分性不成立;取 x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分 也不必要条件. 5.若 a≠0 或 b≠0,a,b∈R,则 a2+b2≠0 [解析] “若 p,则 q”的逆否命题为“若 q,则 p”,又 a=b=0 的实质为 a=0 且 b=0,故其否定为 a≠0 或 b≠0. 6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0 [解析]“对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0 的否定分别为 ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意 a,b∈R,若 ab≤0,则 a≤0”. 7.[-3,0] [解析] 由已知可得 ax2-2ax-3≤0 恒成立. 当 a=0 时,-3≤0 恒成立; 当 a≠0 时,得 < , = 4 2 + 12 ≤ , 解得-3≤a<0. 故-3≤a≤0. 8.①a≥2 ②a<2 [解析] ①因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以{x|x>a} ⫋ {x|x≥2},则 a 的取值范围是 a≥2. ②因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以{x|x≥2} ⫋ {x|x>a},则 a 的取值范围是 a<2. 9.充分不必要 [解析] 依题意有 p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故 p 是 q 的充 分不必要条件. 【课堂考点探究】 例 1 [思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题, 再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断. (1)D (2)①③ [解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项 A,B,C 均不正确.故选 D. (2)①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,显然为真命题;②否命 题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为 真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab 是正整数,但 a,b 不一定都是正整数,例如 a=-1,b=-2, 故④为假命题.所以答案是①③. 变式题 (1)B (2)①②④ [解析] (1)“正数 a 的平方不等于 0”即“若 a 是一个正数,则它的平方不等 于 0”,其否命题为“若 a 不是正数,则它的平方等于 0”,所以选 B. (2)①正确,由 log2(a+1)>1,得 a+1>2,所以 a>1,所以 f(x)=logax 在其定义域内是增函数.②正确,由命题的 否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则 x,y 都是偶数”,是 假命题,如(3+1)×(4+1)=20 为偶数,但 x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价. 例 2 [思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量 a,b 的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调 性,求出函数存在零点的充要条件为 a≤-1,从而得出结论. (1)C (2)B [解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得 a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b 均为单位向 量,∴a·b=0,即 a⊥b.反之,由 a⊥b 可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件. (2)因为 f'(x)= 1 >0,所以若函数 f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则 f(e)≤0,即 a≤-1,因此“函数 f(x)=a+ln x(x ≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选 B. 变式题 (1)B (2)A [解析] (1)当 a1=-1,a2=2,公比 q=-2 时,虽然有 a1 ,1 < ⇒ < 1, < ⇒a<0; 若方程的两根均为负,则 = 4-4 ≥ , - 2 < , 1 > ⇒ ≤ 1, > ⇒0b”不能推出“a-1>b”,故选项 A 不是“a>b”的必要条件,不满 足题意; “a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意; “a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项 C 不是“a>b”的必要条件,不满足题意; “a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选 B. (2)由 a>0,m2-7am+12a2<0,得 3a0. 由方程 2 -1 + 2 2- =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 可得 2-m>m-1>0,解得 1 1, 4 ≤ 3 2 或 3 ≥ 1, 4 < 3 2 , 解得 1 3 ≤a≤ 3 8 , 所以实数 a 的取值范围是 1 3 , 3 8 . 【备选理由】 例 1 考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例 2 强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例 3 主要考查了充要条件的判断; 例 4 是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用. 例 1 [配合例 1 使用] [2018·北京通州区三模] 能够说明“设 a,b,c 是任意实数,若 a>b>c,则 a2>ab>c2” 是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为 . [答案] 1,0,-1(此题答案不唯一) [解析] 当 a=1,b=0,c=-1 时,满足 a>b>c,不满足 a2>ab>c2,∴命题是假命题. 故答案可以为 1,0,-1. 例 2 [配合例 2 使用] [2018·武汉 4 月调研] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知条件 p:a ≤ + 2 ,条件 q:A≤ + 2 ,那么 p 是 q 成立的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] A 由条件 p:a≤ + 2 ,知 cos A= 2 +2 -2 2 ≥ 2 +2 - + 2 2 2 = 3(2 +2 )-2 8 ≥ 6-2 8 = 1 2 ,当且仅当 b=c=a 时取 等号, 又 A∈(0,π),∴0 + 2 . ∴p 是 q 成立的充分而不必要条件. 故选 A. 例 3 [配合例 2 使用] [2018·莆田六中三模] 在等比数列{an}中,a2=-2,则“a4,a12 是方程 x2+3x+1=0 的 两根”是“a8=-1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] C 因为 a4,a12 是方程 x2+3x+1=0 的两根,所以 a4a12=1, 因此 8 2 =1,又因为 a2=-2<0,所以 a8<0,即 a8=-1. 从而“a4,a12 是方程 x2+3x+1=0 的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选 C. 例 4 [配合例 3 使用] [2018·南昌模拟] 在实数范围内,使得不等式 1 >1 成立的一个充分而不必要条 件是 ( ) A.x>0 B.x<1 C.01,∴ -1 <0,∴01 成立的一个充分而不必要条件, 故选 D.