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- 2021-05-12 发布
规范答题
·
必考大题突破课
(
五
)
解析几何
【
热点标签
】
1.
题型
:
解答题
2.
分值
:12
分
3.
难度
:
中、高档
【
热点题型
】
题型一
:
直线与圆锥曲线的综合问题
:
以直线与圆锥曲线为载体
,
融平面向量、一元二次方程的根与系数的关系于其中
,
考查弦长关系、面积公式以及运算能力
题型二
:
探究性问题
:
以直线与圆锥曲线作为热点内容
,
经常与不等式、函数、方程以及转化与化归思想等交汇考查
题型一
直线与圆锥曲线的综合问题
【
真题示例
】
(12
分
)(2015·
陕西高考
)
已知椭圆
Ε:
=1(a>b>0)
的半焦距为
c,
原点
Ο
到经过两点
(c,0),(0,b)
的直线的距离为
c.
(1)
求椭圆
E
的离心率
.
(2)
如图
,AB
是圆
M:(x+2)
2
+(y-1)
2
=
的一条直径
,
若椭
圆
Ε
经过
Α,Β
两点
,
求椭圆
Ε
的方程
.
【
信息解读
】
(1)
看到经过两点
(c,0),(0,b)
的直线
,
想
到直线的方程
.
(2)
看到点到直线的距离
,
想到点到直线的距离公式
.
(3)
看到
AB
是圆
M
的一条直径
,
想到点
M
是线段
AB
的中点
.
(4)
看到椭圆
E
经过
A,B
两点
,
想到
AB
与椭圆相交于两点
.
【
标准答案
】
(1)
过点
(c,0),(0,b)
的直线方程为
bx+cy-bc
=0,
…………………………
…1
分得分点①
则原点
O
到直线的距离
d=
…………………………………………
…2
分得分点②
由
d= c,
得
a=2b=
解得离心率
…………………………………………
…2
分得分点③
(2)
由
(1)
知
,
椭圆
E
的方程为
x
2
+4y
2
=4b
2
.
依题意
,
圆心
M(-2,1)
是线段
AB
的中点
,
且
|AB|= .
……………………
…2
分得分点④
易知
,AB
不与
x
轴垂直
,
设其直线方程为
y=k(x+2)+1,
代入椭圆
E
的方程得
(1+4k
2
)x
2
+8k(2k+1)x+4(2k+1)
2
-4b
2
=0,
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+x
2
= x
1
x
2
=
…………………………
…2
分得分点⑤
由
x
1
+x
2
=-4,
得
=-4,
解得
k= .
从而
x
1
x
2
=8-2b
2
.
于是
|AB|= |x
1
-x
2
|
=
由
|AB|= ,
得 解得
b
2
=3.
故椭圆
E
的方程为
=1.
…………
…3
分得分点⑥
【
得分细则
·
答题规则
】
第
(1)
问踩点说明
(
针对得分点①②③
):
①
运用直线截距式方程变形可得
1
分
.
②
得分点有两处
:
一是应用点到直线的距离公式可得
1
分
;
二是化简得到 再得
1
分
.
③得分点有两处
:
一是应用距离为
c
得
1
分
;
二是得到正确结果 再得
1
分
.
第
(2)
问踩点说明
(
针对得分点④⑤⑥
):
④
得分点有两处
:
一是应用
(1)
得出椭圆方程可得
1
分
;
二是正确求出
|AB|
的值再得
1
分
.
⑤得分点有两处
:
一是联立方程消元得出方程可得
1
分
;
二是正确得出两根和与积再得
1
分
.
⑥
得分点有三处
:
一是利用中点坐标求出
k
值得
1
分
;
二是利用弦长公式得出
b
2
的值得
1
分
;
三是准确计算出椭圆方程再得
1
分
.
答题规则
1:
写全解题步骤
,
步步为“赢”
解题时
,
要将解题过程转化为得分点
,
对于是得分点的解题步骤一定要写全
,
阅卷时根据步骤评分
,
有则得分
,
无则不得分
,
如本题中应用弦长公式进行化简、转化的步骤
,
求关于离心率的步骤等
,
如果不全
,
就会失分
.
答题规则
2:
准确熟练应用离心率、弦长公式
公式的熟记与灵活应用是得分关键
,
本题中应用公式较多
,
如离心率、弦长、中点坐标公式
,
能够正确应用并写出相应步骤即可得分
.
【
跟踪训练
】
(2016·
沈阳模拟
)
如图
,
椭圆
=1
(a>b>0)
的左焦点为
F,
过点
F
的直线交椭圆于
A,B
两点
,
|AF|
的最大值为
M,|BF|
的最小值为
m,
满足
M·m
= a
2
.
(1)
若线段
AB
垂直于
x
轴时
,|AB|= ,
求椭圆的方程
.
(2)
设线段
AB
的中点为
G,AB
的垂直平分线与
x
轴和
y
轴分
别交于
D,E
两点
,O
是坐标原点
,
记△
GFD
的面积为
S
1
,△OED
的面积为
S
2
,
求 的取值范围
.
【
解析
】
(1)
设
F(-c,0)(c>0),
则根据椭圆性质得
M=a+c,m
=a-c,
而
M
·
m
= a
2
,
所以有
a
2
-c
2
= a
2
,
即
a
2
=4c
2
,a=2c,
又 且
a
2
=b
2
+c
2
,
得
a=1,b
2
= ,
因此椭圆的方程为
:x
2
+ =1.
(2)
由
(1)
可知
a=2c,b=
椭圆的方程为
=1.
根据条件直线
AB
的斜率一定存在且不为零
,
设直线
AB
的
方程为
y=k(x+c
),
并设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),D(x
D
,0),
则由 消去
y
并整理得
:
(4k
2
+3)x
2
+8ck
2
x+4k
2
c
2
-12c
2
=0,
从而有
x
1
+x
2
=
y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
+2c)=
所以
因为
DG⊥AB,
所以
·
k=-1,
x
D
=
由
Rt△FGD
与
Rt△EOD
相似
,
所以
=
令
=t,
则
t>9,
从而
即 的取值范围是
题型二
探究性问题
【
真题示例
】
(12
分
)(2015·
四川高考
)
如图
,
椭圆
E:
=1(a>b>0)
的离心率是
,
点
P(0,1)
在短轴
CD
上
,
且
=-1.
(1)
求椭圆
E
的方程
.
(2)
设
O
为坐标原点
,
过点
P
的动直线与椭圆交于
A,B
两点
.
是否存在常数
λ,
使得 为定值
?
若存在
,
求
λ
的值
;
若不存在
,
请说明理由
.
【
信息解读
】
(1)
看到椭圆的离心率
,
想到椭圆的离心
率公式
.
看到
=-1,
想到向量的数量积公式
.
(2)
看到动直线与椭圆交于
A,B
两点
,
想到直线方程与椭
圆方程联立
.
【
标准答案
】
(1)
由已知
,
点
C,D
的坐标分别为
(0,-b),
(0,b),
又点
P
的坐标为
(0,1),
且
=-1,
于是
……………………
…3
分得分点①
解得
a=2,b= .
…………………………
…1
分得分点②
所以椭圆
E
的方程为
=1.
…………
…1
分得分点③
(2)
当直线
AB
斜率存在时
,
设直线
AB
的方程为
y=kx+1,
A,B
的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
联立 得
(2k
2
+1)x
2
+4kx-2=0,
其判别式
Δ=(4k)
2
+8(2k
2
+1)>0,
所以
x
1
+x
2
= x
1
x
2
=
…………………………………………
…2
分得分点④
从而
=x
1
x
2
+y
1
y
2
+λ[x
1
x
2
+(y
1
-1)(y
2
-1)]
=(1+λ)(1+k
2
)x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1
=
所以
,
当
λ=1
时
, -λ-2=-3,
此时
, =-3
为定值
.
……
…3
分得分点⑤
当直线
AB
斜率不存在时
,
直线
AB
即为直线
CD,
此时
=-2-λ.
当
λ=1
时
,-2-λ=-3,
符合
.
故存在常数
λ=1,
使得 为定值
-3.
…………………………………………
…2
分得分点⑥
【
得分细则
·
答题规则
】
第
(1)
问踩点说明
(
针对得分点①②③
):
①
得分点有三处
:
一是由向量的数量积为
-1,
得出一个方程可得
1
分
;
二是由离心率得出一个方程再得
1
分
;
三是写出
a,b,c
之间的关系再得
1
分
.
②由得分点①中方程正确得出结果得
1
分
.
③
写出椭圆方程得
1
分
.
第
(2)
问踩点说明
(
针对得分点④⑤⑥
):
④
得分点有两处
:
一是联立直线与椭圆方程并消元得出关于
x
的一元二次方程可得
1
分
;
二是由根与系数的关系得出两根和与积再得
1
分
.
⑤得分点有三处
:
一是由 得出关于
λ
的
代数式得
1
分
;
二是将
λ
的代数式适当变形得
1
分
;
三是得出
λ
的值再得
1
分
.
⑥得分点有两处
:
一是验证斜率不存在时代数式的值得
1
分
;
二是得出最后结论得
1
分
.
答题规则
1:
写全解题步骤
,
步步为“赢”
解题时
,
要将解题过程转化为得分点
,
对于是得分点的解题步骤一定要写全
,
阅卷时根据步骤评分
,
有则得分
,
无则不得分
,
如本题中应用离心率公式、向量的数量积公式、椭圆中
a,b,c
之间的关系
,
直线与椭圆方程联立化简、转化的步骤、以及向量数量积的运算的步骤等
,
如果不全
,
就会失分
.
答题规则
2:
准确熟练应用离心率、弦长公式
公式的熟记与灵活应用是得分关键
,
本题中应用公式较多
,
如离心率公式、一元二次方程根与系数的关系、向量的数量积
,
能够正确应用并写出相应步骤即可得分
.
【
跟踪训练
】
(2016·
阳泉模拟
)
已知椭圆
C: =1
与双曲线
=1(1