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- 2021-05-12 发布
第七节 函数的奇偶性与周期性
1． 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2． 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3． 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
1． 考查函数奇偶性的判断．
2． 利用函数的奇偶性、周期性求函数值．
3． 与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力．
一、奇(偶)函数的定义及图象特征
1．奇、偶函数的定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x.
(1)f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)； (2)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
2．奇、偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
3．奇、偶函数对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
4．奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.
二、周期性
1．周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
(1)f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立， (2)T≠0．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．
3．周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.
(4)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．
(5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－b|
考向一 判断函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x＋1).
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝ .
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ln(x) (2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.
判断函数奇偶性的方法：
1．首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．
2．若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数，f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数．
3．分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数奇偶性的应用
例1．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________．
2．已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，则实数a的取值范围是________．
3． 已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．
与函数奇偶性有关的问题及解决方法：
1．已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
2．已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
3．已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．
4．应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
考向三 函数的周期性及其应用
例1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝－1，则f的值为( )
A．－ B．－5 C．－ D．－6
2．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数D．先减后增的函数
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)．
1．证明一个函数f(x)是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f(x＋T)＝f(x)”成立的非零常数T.
2．周期性与奇偶性相结合的综合问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用。
思想方法 利用奇偶性求值——“方程思想”闪光芒
方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决．
在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：
1．函数奇偶性的判断，即验证等式“f(x)±f(－x)＝0”是否对定义域中的每个x均成立．
2．求解析式，在同时含有f(x)与f(－x)的表达式中，如bf(x)＋f(－x)＝a(ab≠0)中，常用“－x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)．
3．求值，已知f(a)的值探求f(－a)的值。
☆答题模版1．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．又g(x)是偶函数，∴g(－1)＝g(1)．
∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.① 又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.②
由①②，得g(1)＝3.
【答案】B
2．(2013·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝( )
A．－5 B．－1 C．3 D．4
【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x，则lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax3＋bsin x＋4)＋[a(－x)3＋bsin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3.
【答案】C
一、选择（本大题共6小题，每题5分，共30分）
1．下列函数是奇函数的有( )
①f(x)＝2x4＋3x2； ②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝； ④f(x)＝x3＋1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时， f(x) ＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
4．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f()＝( )
A．－ B．－ C． D．
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B． C． D．－
6．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空（本大题共4小题，每题5分，共20分）
7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
8．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．
10．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝，则g(x) ＝________.
第七节 函数的奇偶性与周期性
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．函数f(x)＝ ＋的奇偶性为( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数． D．既是奇函数，也是偶函数．
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(－a)＝2，则f(a)的值为( )
A．3 B．0 C．－1 D．－2
5．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于( )
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
6．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝____，b＝____.
8．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．
9．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分)
10．(15分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
11．(15分)函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(x(x-))<0的解集．
12．(15分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
第七节 函数的奇偶性与周期性
考向一：例1．【解析】(1)由得x＝－或x＝.∴函数f(x)的定义域为{－，}．又∵对任意的x∈{－，}，－x∈{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0.∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．(2)∵∴－
2≤x≤2且x≠0.∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵x＋3>0，∴f(x)＝＝.又f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(3)由得－10⇒－10时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f(x)
＝＝－.∵f(－x)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
3．【解析】(1)由x＋>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝－ln(x＋)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．
考向二：例1．【解析】(1)(1)方法一：∵f(x)＝为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，∴a＝－1.方法二：∵f(x)＝为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，∴a＝－1.【答案】－1.
2．【解析】当x≥0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∴函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数f(x)在R上是增函数．由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a.解得－3＜a＜1.【答案】(－3,1) 3．【解析】设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x＜0)．∴f(x)＝【答案】f(x)＝
考向三：例1．【解析】∵－34} 10．【解析】由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)0，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．