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- 2021-05-12 发布
数学(理科)
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知全集 U＝Z，A＝{1，2，3，4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x∈Z}，则 A∩( Uð B)＝
A.{1，2} B.{2，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4}
2.已知复数 z＝ 1
2
i
i
，则 z 的共轭复数 z ＝
A. 1 3
5 5 i B. 1 3
5 5 i C. 1 3
5 5 i D. 1 3
5 5 i
3.函数 y＝ax－ 1
a
(a>0，a≠1)的图象可能是
4.(1－2t)(1＋t)6 的展开式中，t3 项的系数为
A.20 B.30 C.－10 D.－24
5.2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式。孪生
素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p
使得 p＋2 是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数。从 20 以内的素数中任取两个，其中能构
成孪生素数的概率为
A. 1
14
B. 1
7
C. 3
14
D. 1
3
6.如图所示的程序框图，则输出的 x，y，z 的值分别是
A.1300
9
，600，1120
3
B.1200，500，300 C.1100，400，600 D.300，500，1200
7.若θ∈[ ,4 2
]，sin2θ＝ 3 7
8
，则 sinθ＝
A. 3
5
B. 4
5
C. 7
4
D. 3
4
8.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的一点，
若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36π，则 p＝
A.2 B.4 C.6 D.8
9.在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，△ABC 为等边三角形，PA＝AB，E 是 PC 的中点，
则异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值为
A. 1
6
B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
10.直线 x＝2 与双曲线
2 2
116 9
x y 的渐近线交于 A，B 两点，设 P 为双曲线上任意一点，若
OP aOA bOB
(a，b∈R，O 为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是
A.|ab|＝2 B.a2＋b2≥4 C.|a－b|≥2 D.|a＋b|≥2
11.已知函数 f(x)＝cosxsin2x，给出下列命题：
① x∈R，都有 f(－x)＝－f(x)成立； ②存在常数 T≠0， x∈R 恒有 f(x＋T)＝f(x)成立；
③f(x)的最大值为 2 3
9
； ④y＝f(x)在[ ,6 6
]上是增函数。
以上命题中正确的为
A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④
12.已知函数 f(x)＝lnx－ 1
2
ax2＋(a－1)x＋a(a>0)的值域与函数 f(f(x))的值域相同，则 a 的取值
范围为
A.(0，1] B.(1，＋∞) C.(0， 4
3
] D.[ 4
3
，＋∞)
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把各题答案的最简形式写在题中的横
线上。
13.已知向量 a＝(1，4)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)与(2a－b)共线，则实数 k＝ 。
14.某中学有学生 3600 名，从中随机抽取 300 名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不
超过 1 公里的学生共有 15 人，不超过 2 公里的学生共有 45 人，由此估计该学校所有学生中
居住地到学校的距离在(1，2]公里的学生有 人。
15.如图所示，在正四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，E，F 分别是 AB，
CD 的中点，cos∠PEF＝ 2
2
，若 A，B，C，D，P 在同一球面上，则此球的体积为 。
16.如图，在△ABC 中，AC⊥BC，D 为 BC 边上的点，M 为 AD 上的点，CD＝1，∠CAB＝
∠MBD＝∠DMB，则 AM＝ 。
三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}和递增的等比数列{bn}满足：a1＝1，b1＝3 且 b3＝2a5＋3a2，b2＝a4＋2。
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，若对任意的 n∈N*，kbn≥Sn 恒成立，求实数 k 的取值范围。
18.(本小题满分 12 分)
如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。
(1)求证：A1C⊥B1A1；
(2)若平面 ABC⊥平面 ABB1A1，且 AB＝BC，求直线 CB1 与平面 A1BC 所成角的正弦值。
19.(本小题满分 12 分)
2019 年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一
时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活。为了解决这个
问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个
国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定。某大型生猪生产企业分析当前市场形势，
决定响应政府号召，扩大生产。决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪
的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究。现相关数据统计如下表：
(1)研究员甲根据以上数据认为 y 与 x 具有线性回归关系，请帮他求出 y 关于 x 的线性回归方
程 1
y bx a ；(保留小数点后两位有效数字)
(2)研究员乙根据以上数据得出 y 与 x 的回归模型： 2 4 8 0 8y x
. . 。为了评价两种模型的拟
合效果，请完成以下任务：
①完成下表(计算结果精确到 0.01 元)(备注： ie 称为相应于点(xi，yi)的残差)；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q1 及 Q2，并通过比较 Q1，Q2 的大小，判断哪个模
型拟合效果更好。
(3)根据市场调查，生猪存栏数量达到 1 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.5 元；生猪
存栏数量达到 1.2 万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为 7.2 元。若按(2)中拟合效果较好的
模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择 1 万头还是 1.2 万头能获得更多利
润?请说明理由。(利润＝收入－成本)
参考公式： 1 1
2 2 2
1 1
( )( )
ˆ ˆ,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b y bx a
x x x nx
。
参考数据：
5 5
2
1 1
( )( ) 5.3, ( ) 21.2i i i
i i
x x y y x x
。
20.(本小题满分 12 分)
已知 A(x0，0)，B(0，y0)两点分别在 x 轴和 y 轴上运动，且|AB|＝1，若动点 P(x，y)满足
2 3OP OA OB 。
(1)求出动点 P 的轨迹 C 的标准方程；
(2)设动直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点，与圆 x2＋y2＝7 相交于两点 P1，P2(两点均不在
坐标轴上)，求直线 OP1、OP2 的斜率之积。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝
1
a
x
＋lnx(a∈R，a 为常数)。。
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若函数 f(x)在(e，＋∞)内有极值，试比较 ea－1 与 ae－1 的大小，并证明你的结论。
(二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记
分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
4
x t
y t
(t 为参数)，曲线 C1 的方程为
x2＋(y－1)2＝1。以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求直线 l 和曲线 C1 的极坐标方程；
(2)曲线 C2：θ＝α(ρ>0，0<α<
2
)分别交直线 l 和曲线 C1 于点 A，B，求 OB
OA
的最大值及相应α
的值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|3x－a|＋|3＋x|。
(1)若 a＝3，解不等式 f(x)≤6；
(2)若不存在实数 x，使得 f(x)≤1－a－|6＋2x|，求实数 a 的取值范围。