2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的奇偶性与周期性 7页

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点：函数的奇偶性与周期性 考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的 概念和几何意义. 本部分常常命制高考试题，难度中等，常结合分段函数、不等式等内容进行综合考查，难度中等。 一、判断函数的奇偶性； 二、函数的周期性及其应用； 三、函数性质的综合运用。 【易错警示】 1.f(0)＝0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. 2.函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)满足的关系 f(a＋ x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【规律总结】1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 调性. 3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0). (2)若 f(x＋a)＝ 1 f（x），则 T＝2a(a>0). (3)若 f(x＋a)＝－ 1 f（x），则 T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝ －f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 【知识拓展】 奇函数在对称区间内不改变它的单调性，偶函数在对称区间内恰改变函数的单调性。 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等 价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 【易错警示】 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 【典例】 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg (1－x2) |x－2|－2； (3)f(x)＝  x2＋x，x<0， －x2＋x，x>0. 解 (1)由  3－x2≥0， x2－3≥0，得 x2＝3，解得 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－ x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由  1－x2>0， |x－2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝lg(1－x2) －x . 又∵f(－x)＝lg[1－(－x)2] x ＝－lg(1－x2) －x ＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数. (3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数. 函数的周期性及其应用 函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期. 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式 时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间. 2.若 f(x＋a)＝－f(x)(a 是常数，且 a≠0)，则 2a 为函数 f(x)的一 个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了 解题过程. 【易错警示】 在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期” 的应用. 【典例】 【例 2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－ x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( ) A.－50 B.0 C.2 D.50 (2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x) 的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点个数为________. 解析 (1)法一 ∵f(x)在 R 上是奇函数，且 f(1－x)＝f(1＋x). ∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即 f(x＋2)＝－f(x). 因此 f(x＋4)＝f(x)，则函数 f(x)是周期为 4 的函数， 由于 f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2， 故令 x＝1，得 f(0)＝f(2)＝0 令 x＝2，得 f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2， 令 x＝3，得 f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0， 故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0， 所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2. 法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx 2 ，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4 为周期的周期数列. 故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0] ＋2＋0＝2. (2)因为当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)＝0， 则 f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又 f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0， 故函数 y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与 x 轴的交点有 7 个. 答案 (1)C (2)7 函数性质的综合运用 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数 值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问 题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【典例】 角度 1 函数单调性与奇偶性 【例 3－1】 (2020·石家庄模拟)设 f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为 增函数，则 f(x－1)≥f(3)的解集为( ) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6] 解析 因为 f(x)是定义在[－2b，3＋b]上的偶函数， 所以有－2b＋3＋b＝0，解得 b＝3， 由函数 f(x)在[－6，0]上为增函数，得 f(x)在(0，6]上为减函数.故 f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－ 1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4. 答案 B 规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图 象的对称性. 2.本题充分利用偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度 2 函数的奇偶性与周期性 【例 3－2】 (1)(2020·山东省实验中学检测)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)， 且当 x∈ 0，5 2 时，f(x)＝x3－3x，则 f(2 018)＝( ) A.2 B.－18 C.18 D.－2 (2)(2020 洛阳模拟)已知函数 y＝f(x)满足 y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数，且 f(1)＝π 3，设 F(x) ＝f(x)＋f(－x)，则 F(3)＝( ) A.π 3 B.2π 3 C.π D.4π 3 解析 (1)∵f(x)满足 f(x＋5)＝f(x)， ∴f(x)是周期为 5 的函数， ∴f(2 018)＝f(403×5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)， ∵f(x)是奇函数，且当 x∈ 0，5 2 时，f(x)＝x3－3x， ∴f(－2)＝－f(2)＝－(23－3×2)＝－2， 故 f(2 018)＝－2. (2)由y＝f(－x)和 y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且 f(x＋2)＝f(－x＋2)，则 f(x＋2)＝f(x－2). ∴f(x＋4)＝f(x)，则 y＝f(x)的周期为 4. 所以 F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝2π 3 . 答案 (1)D (2)B 角度 3 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别地， 若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0. 【例 3－3】设函数 f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m＝________. 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)＝（x＋1）2＋sin x x2＋1 ＝1＋2x＋sin x x2＋1 ， 设 g(x)＝2x＋sin x x2＋1 ，则 g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案 2 角度 4 抽象函数的周期性 (1)如果 f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T＝2a. (2)如果 f(x＋a)＝ 1 f（x）(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. (3)如果 f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T＝2a. 【例 3－4】已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)，且当 x∈(0， 3)时，f(x)＝x＋1，则 f(－2 017)＋f(2 018)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当 x≥0 时，有 f(x＋3)＝－f(x)， 所以 f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当 x≥0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出现一次. 又当 x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故 f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. 答案 C 角度 5 抽象函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a＋b 2 对称，特别地，若 f(a＋x)＝ f(a－x)恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称. (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即 f(x)＝－f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对 称. 【例 3－5】 (2020·日照调研)函数 y＝f(x)对任意 x∈R 都有 f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数 y＝f(x －1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________. 解析 因为函数 y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数 y＝f(x)的图象关于(0，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以 f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4) ＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以 f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案 4