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- 2021-05-11 发布
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数学试卷
一、选择题:（本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.集合，集合，若（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用交集定义直接求解．
【详解】集合，集合，
.
故选：B.
【点睛】本题考查交集及其运算，属于基础题.
2.下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据基本初等函数的单调性判断即可.
【详解】对于A，在上单调递增，符合题意；
对于B，在上不是单调函数，不符合题意；
对于C，在上单调递减，不符合题意；
对于D，在上单调递减，不符合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查基本初等函数单调性，可以根据解析式直接判断单调性，属于基础题.
3.集合的真子集共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由真子集公式计算公式计算即可得出.
【详解】解：集合中有两个元素，故其真子集的个数是
故选．
【点睛】解答本题的方法有二，一是记忆公式，二是列举法，掌握求解的规律是解答的关键
4.函数，的值域是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用一次函数的单调性求解即可．
【详解】函数，在上为增函数，
当时，，当时，，
函数，的值域是.
故选：B.
【点睛】本题考查函数的值域的求法，根据函数的单调性求值域是常见方法，属于基础题.
5.已知在上的函数是增函数，满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的单调性脱掉“”，得到不等式，解不等式即可.
【详解】函数在上是增函数，且满足，
，
，
即的取值范围是：.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.
6.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列不等式组，解得定义域.
【详解】由题意得，即定义域为，选A.
【点睛】具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零.
7.已知函数，则的值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
试题分析：，，故选D.
考点：分段函数求值.
8.下列函数中，与函数相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数相等的条件：定义域和对应法则都要一致可判断.
【详解】B选项中要求：与的定义域不一致；
C选项中与的对应法则不一致；
D选项中要求：与的定义域不一致；
故选A.
【点睛】本题考查函数的定义，属于基础题.
9.若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用，且在上是增函数，将自变量化为同一单调区间，即可判断.
【详解】,
为偶函数，
又在区间上是增函数，，，
.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，解题关键是将自变量化为同一区间，然后根据单调性得出大小关系，属于基础题.
10.已知且，，求的值为（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出的值，，所以，再求的值即可.
【详解】
.
故选：A.
【点睛】本题考查根据解析式求函数值的问题，属于基础题.
11.如图，设a，b，c，d>0，且不等于1，y=ax，y=bx， y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ）
A. a” 或“<”）
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性判断即可.
【详解】函数在上单调递增，
又，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据单调性比较大小，正确引入函数模型比较大小是解题的关键，属于基础题.
14.已知A={（x，y）|y=2x-1}，B={（x，y）|y=x+3}，A∩B= ______ ．
【答案】{（4，7）}
【解析】
由题意可得，集合A,B均表示直线上的点集，联立直线方程：
可得交点坐标为：，
即：A∩B={（4，7）}.
15.已知幂函数的图象过点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】
设幂函数的解析式为，将点的坐标代入求出参数即可．
【详解】解：设幂函数的解析式为
因为函数过点
所以
解得
故答案为
【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
16.函数的单调增区间为
【答案】
【解析】
【详解】由复合，所以单调增区间为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.计算：
(1) ；
(2) .
【答案】（1） ；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用对数的运算性质进行求解即可；
（2）利用有理数指数幂的运算性质进行求解即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
【点睛】本题考查对数的运算及有理数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，属于基础题.
18.已知集合，，且，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，，解得，当时，，无解，由此可以得出实数的取值范围.
【详解】集合，，且，
当时，，解得；
当时，，无解.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合包含关系的判断及应用，应分类讨论集合是否为空集，属于基础题.
19.已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）写出函数的单调区间．
【答案】（1）f（x）=；
（2）则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．
【解析】
试题分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（﹣x）=﹣f（x），即可求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）根据（1）中分段函数的解析式，我们易画出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．
解：（1）∵函数f（x）是定义域在R上的奇函数，
∴当x=0时，f（0）=0；
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=x2+2x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（﹣x）=x2+2x=﹣f（x），
即f（x）=﹣x2﹣2x．
综上：f（x）=．
（2）函数f（x）=图象如下图所示：
则函数的单调递增区间为为[1，+∞），（﹣∞，﹣1]，
函数的单调递减区间为为[﹣1，1]．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．
20.已知.
（1）画出函数的图象，求的值域；
（2）解不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化简的解析式为分段函数，再作出函数图象，得出值域；
（2）分情况讨论解不等式．
【详解】（1），
作出函数图象如图所示：
由图象可知的值域为：；
（2）当时，不等式即，解得：，
；
当时，不等式即，解得：，
.
综上，不等式的解集为：.
【点睛】本题考查函数图象以及解不等式，正确理解绝对值的含义是解题的关键，属于常考题.
21.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收人为（）万元；当时，年销售总收人为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)
(1)求(万元)与(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?
【答案】（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．
【详解】（1）由题意得：当时，，
当时，，
故（）；
（2）当时，，
当时，，
而当时，，
故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.
【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.
22.已知函数 是奇函数，
（1）求的值 ；
（2）证明函数在上是减函数；
（3）若，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数定义中的特殊值求的值；
（2）按取点，作差，变形，判断的过程证明即可．
（3）根据函数的单调性，得到当时，函数的值域．
【详解】（1）因为)是奇函数,函数的定义域为，所以，
即；
（2）由（1）知，，
设，
则，
函数在上是增函数且函数值恒大于，
故，，，，
即.
在上是减函数；
（3）由（2）知在上是减函数，
若，
当时，取得最大值；
当时，取得最小值
故若，函数的值域为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及最值，解题时应熟练把握单调性与奇偶性的定义和判断方法以及最值的求法，属于综合题.