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- 2021-05-11 发布
典型高考数学试题解读与变式2018版
考点56 不等式选讲
【考纲要求】
1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c； |ax＋b|≥c； |x－c|＋|x－b|≥a．
3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
【命题规律】
不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.
【典型高考试题变式】
（一）绝对值不等式的解法
例1.【2017新课标1】已知函数，.
（1）当a=1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求实数a的取值范围.
【分析】（1）将代入，不等式等价于，对按，
，讨论，得出不等式的解集；（2）当时，.若的解集包含，等价于当时.则在的最小值必为与之一，所以且，从而得.
（2）当时，.
所以的解集包含，等价于当时.
又在的最小值必为与之一，所以且，得.
所以的取值范围为.
【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，
借助图象解题.
【变式1】【2018陕西山大附中等晋豫名校联考】
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【解析】（1）原不等式可化为： ，
即 或，
由得或，
由得或，
综上原不等式的解为或.学+
（2）原不等式等价于的解集非空， :学 ]
令，即，
由，所以，
所以.
【变式2】【2017湖北省荆州市质检】
已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若的解集包含集合，求实数的取值范围.
【解析】(1)当时，，，[ : ]
上述不等式可化为或或
解得或或
所以或或，
所以原不等式的解集为
（二）不等式的证明
例2.【2017年新课标2】已知．证明：
（1）；
（2）．
【分析】（1）展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；
（2）利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．
【解析】（1）
（2）因为
所以，因此．
【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．
【变式1】若a>0，b>0，且＋＝．
（1）求a3＋b3的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
【变式2】【2017河北邯郸联考】
设．
（1）求的解集；
（2）当时，求证：．
【解析】（1）由得：[ :学 ]
或或，
解得，所以的解集为.
（2）当，即时，
要证，即证.
因为
，
所以，即.
（三）绝对值不等式的恒成立、参数范围问题
例3.【2017新课标3】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.
【分析】（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；（2）由题意结合绝对值不等式的性质有
，则m的取值范围是.
【解析】（1），
当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得.
所以的解集为.
（2）由得，而
，
且当时，.
故实数m的取值范围为.
【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
【变式1】【2018河南中原名校质检】
已知关于的不等式.
（1）当时，解不等式；
（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.
【解析】（1）原不等式变为.
当时，原不等式化为，解得，所以
当时，原不等式化为，所以.
当时，原不等式化为，解得，所以.
综上，原不等式解集为.
【变式2】已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
（1）求不等式f(x)≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．
【解析】（1）原不等式等价于或或
解得4，所以a<－3或a>5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
【数学思想】
① 数形结合思想．
② 分类讨论思想．
③转化与化归思想.
④函数方程思想.
【温馨提示】
①绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
②分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．
③用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的.
【典例试题演练】
1.【2018辽宁鞍山中学二模】已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，无解；
当时， ；
当时， .
综上，实数的取值范围为 .
（2）函数的最小值为， ，所以.
2.【2018广西贺州桂梧高中联考】已知函数
的一个零点为2.
（1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
【解析】（1）由， ，得，
所以，所以或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
作出函数的图象，如图所示，
直线过定点，
当此直线经过点时， ；
当此直线与直线平行时， .
故由图可知， .
3.【2017四川省凉山州检测】已知函数．
（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．
【解析】 （1）令，则，
作出函数的图象，
由图可知，函数的最小值为，所以，即，
综上，实数的取值范围为.
（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．
4.【20176广西柳州市模拟】已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）如果，，求的取值范围．
（2）若，的最小值为；
若，的最小值为．
所以，，所以实数的取值范围是．
5.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
（1）ab＋bc＋ca≤；
（2）2＋＋≥1．
【证明】（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．
（2）因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c．
所以＋＋≥1.
6.【2018河南漯河中学三模】若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.
（1）求；学 +
（2）若正实数满足，求的最小值.
【解析】（1）因为，所以，
又因为，所以，
从而实数的最大值.
（2）因为
，
所以，从而，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.