2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学高一上学期期末（英才班）数学（理）试题（解析版） 11页

‎2018-2019学年四川省遂宁市射洪中学高一上学期期末（英才班）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，，，则如图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】化简集合，阴影部分用集合表示，再根据集合间的运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 图中阴影部分表示为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查集合的表示，以及集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数（，且）的图象一定经过的点是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，过定点，故选D。‎ ‎3．当时，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.‎ 详解：因为，所以，‎ 所以，因为，‎ 所以，‎ 所以，所以 ‎，所以答案是，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.‎ ‎4．若函数在区间上单调递减，且，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．‎ ‎【详解】‎ 由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5， 函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2）， 要使f(x)＝log0.3(5+4x−x2)在区间（a-1，a+1）上单调递减， 则 ，即0≤a≤1． 而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b＜a＜c． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．‎ ‎5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如： ， ，已知函数，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 函数的值域是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ ‎6．在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数 的图象上关于原点成中心对称的点有( )‎ A．对 B．对 C．对 D．对 ‎【答案】C ‎【解析】函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与图象交点个数，利用数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为关于原点对称的函数解析式为,‎ 所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，‎ 就是与为图象交点个数，‎ 同一坐标系内，画出与图象，如图，‎ 由图象可知，两个图象的交点个数有5个，‎ 的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题.‎ ‎ 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 二、填空题 ‎7．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，（为常数），则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的奇偶性，先求的b值，再代入x=1，求得，进而求解的值.‎ ‎【详解】‎ 由为定义在上的奇函数可知，已知 ，‎ 所以，得，‎ 所以，‎ 于是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性的应用，涉及了函数求值的知识；注意解析式所对应的自变量区间.‎ ‎8．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 分类讨论：①当时，即：，‎ 整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当时，，则；‎ ‎②当时，即：，整理可得：，‎ 由恒成立的条件可知：，‎ 结合二次函数的性质可知：‎ 当或时，，则；‎ 综合①②可得的取值范围是，故答案为.‎ 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎ ‎9．函数，下列四个命题 ‎①是以为周期的函数 ②的图象关于直线对称 ‎③当且仅当，取得最小值-1‎ ‎④当且仅当时，‎ 正确的是________________．（填正确序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，由函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此可以作出函数图象 ‎【详解】‎ 由题意函数作出在上的图象，如图所示 由图象可知，函数的最小正周期为，故①错误；‎ 由图象可知，函数图象关于直线对称，故②正确；‎ 在和时，该函数都取得最小值-1，故③错误；‎ 在时，，故④正确.‎ 综上，正确的命题为②④‎ 故答案为②④‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数图像的性质，解答了三角函数的周期性、对称性、最值等知识点，在解题过程中掌握解题方法，熟练画出函数图像。‎ 三、解答题 ‎10．若函数满足对其定义域内任意成立，则称为 “类对数型”函数.‎ ‎（1）求证：为 “类对数型”函数；‎ ‎（2）若为 “类对数型”函数，‎ ‎（i）求的值；‎ ‎（ii）求的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）（i）；（ii）.‎ ‎【解析】（1）任取代入的表达式，利用对数运算公式来化简，由此证明为类对数型函数.（2）（i）令，代入，可求得的值.（2）令，即互为倒数，代入，可求得互为倒数的自变量，会使，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)证明：‎ ‎ ‎ 成立，‎ 所以为 “类对数型”函数； ‎ ‎（2）（i）‎ ‎ 令，有 ‎∴‎ ‎（ii）令，则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对新定义函数的理解，考查倒序相加求和法.对于一个新定义的问题，首先要把握的就是新定义本身所包含的数学知识，也就是说，将一个新定义的问题，转化为我们所学过的知识来解决.对于有规律的一列数求和，要想办法找到这个规律，以此为突破口解题.‎ ‎11．函数在它的某一个周期内的单调减区间是.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，求函数在 上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为1，最小值为．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用三角函数的性质可求得函数的解析式为；‎ ‎(2)首先求得函数的解析式结合函数的定义域可得函数的最大值为1，最小值为 试题解析：‎ ‎（1）由条件，， ∴ ∴ ‎ 又∴ ‎ ‎∴的解析式为 ‎ ‎（2）将的图象先向右平移个单位，得 ‎ ‎∴ ‎ 而 ‎ ‎∴函数在上的最大值为1，最小值为 ‎12．已知函数.‎ ‎(1)若函数的定义域为，求的取值范围；‎ ‎(2)设函数.若对任意，总有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）等价于在上恒成立.解得 的取值范围是；（2）等价于在上恒成立，所以的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)函数的定义域为，即在上恒成立.‎ 当时，恒成立，符合题意；‎ 当时，必有.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴.‎ 对任意，总有，等价于 在上恒成立 在上恒成立.‎ 设，则（当且仅当时取等号）.‎ ‎，在上恒成立.‎ 当时，显然成立.‎ 当时，在上恒成立.‎ 令，.只需.‎ ‎∵在区间上单调递增，‎ ‎∴.‎ 令 .只需.‎ 而，且∴.故.‎ 综上，的取值范围是.‎