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- 2021-05-11 发布
近七年全国Ⅰ卷解析几何解答题命题及其分析
7年7考，每年1题．
特点：全国Ⅰ卷中，2011-2015载体连续5年都是圆！
年全国Ⅰ卷在小题中已经考查了椭圆、双曲线、抛物线，大题中一般不再考查；
全国Ⅰ卷用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算！
2016年终于不用圆了，但在小题中依然考了圆！2017年也没有考圆。
年份
题目及答案
2017年
20.（12分）
设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.
20.解：
（1）设，则，
于是直线的斜率
（2）由，得
设，由题设知，解得，于是
设直线的方程为代入得
当，即时，
从而
由题设知，即，解得
所以直线的方程为
2016年
2015年
（20）（本小题满分12分）
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线与圆C：交于M,N
两点．
（Ⅰ）求K的取值范围；
（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求．
2014年
20. （本小题满分12分）
已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点．
（I）求的轨迹方程；
（II）当时，求的方程及的面积．
解：（I）圆C的方程可化为,所以圆心为C(0,4),半径为4．
设M(x,y),则，，,由题设知,故
，即
由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是…………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆．
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM．
因为ON 的斜率为3,所以的斜率为,直线的方程为：
又，到的距离为，，
所以的面积为． ……………12分
2013年
21．(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3．设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4．
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2．
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4．
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝．
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得＝1，解得k＝．
当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，
所以|AB|＝|x2－x1|＝．
当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝．
综上，|AB|＝或|AB|＝．
2012年
20．（本小题满分12分）
设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点．
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值．
解:（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，
且|BD|=，圆F的半径，
又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离．
因为△ABD的面积为，
所以，即，所以，由，解得
．
从而抛物线C的方程为，圆F的圆心F（0，1），半径，
因此圆F的方程为．
（2）若A，B，F三点在同一直线上，
则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，
根据抛物线的定义，得，
所以，从而直线的斜率为或．
当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离．依题意设直线的方程为，
联立，得，
因为直线与C只有一个公共点，所以，从而．
所以直线的方程为，原点O到直线的距离．
因此坐标原点到，距离的比值为．
当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3．
2011年
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．
（I）求圆C的方程；
（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．
解：
（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（
故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1．
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：
消去y，得到方程
由已知可得，判别式
因此，从而
①
由于OA⊥OB，可得
又所以
②
由①，②得，满足故