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- 2021-05-11 发布
第5讲 物体的平衡
教师版说明：静态平衡的基础内容暑假也讲过，因此老师可以根据学生的情况选讲部分内容；本讲与暑假的区别主要是涉及一些轻弹簧、轻杆的弹力特点，以及个别三维力系的平衡。动态平衡是暑假没有讲过的内容。
基础知识梳理
我们学习了力的合成与分解的概念与方法；其中平行四边形法则是所有矢量都遵守的运算法则，力的正交分解法是解决平衡问题和动力学问题的基础。下面我们对这些内容进行复习。
重点知识回顾
1．共点力
如果一个物体受到两个或者更多力的作用，有些情况下这些力共同作用在同一点上，或者虽不作用在同一点上，但力的作用线的延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力。
2．合力与分力
如果一个力的作用效果与另外几个力的共同作用效果相同，那么这个力与另外几个力等效，这个力称为另外几个力的合力，另外几个力称为这个力的分力。
3．平行四边形定则与三角形定则
⑴ 平行四边形定则学
如图甲所示，求互成角度的两个共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。
⑵ 三角形定则
如图乙所示，把表示、的有向线段首尾相接地画出来，从线段的首端至线段的末端的有向线段就表示了合力的大小和方向。
4．两个共点力的合力范围：
5．正交分解法的步骤
⑴ 正确选择直角坐标系。建立坐标系时，通常以少分解力和容易分解力为原则，尽量不分解或少分解未知力。
⑵ 将各力分别投影在两条坐标轴上
⑶ 分别求出两个方向的合力和
⑷ 由求出总的合力。
基础训练
1． 下列说法正确的是
A．分力和合力同时作用在物体上，它们都是物体实际受到的力
B．合力总是大于分力，不可能小于分力
C．若两个分力大小不变，当夹角越大，则合力越小，夹角越小，则合力越大
D．合力至少大于其中一个分力
【答案】 C
2． 三个力作用在同一物体上，其大小分别为、、，其合力大小可能是
A． B． C． D．
【答案】 ABCD
3． 将一个有确定方向的力分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与成夹角，另一个分力的大小为，则在分解时
A．有无数组解 B．有两组解 C．有惟一解 D．无解
【答案】 B
4． 用轻质细绳系住一小球，小球静止在光滑斜面上，如图所示，为水平方向、为沿斜面方向、为沿绳方向、为竖直方向、为垂直斜面方向。若要按照力的实际作用效果来分解小球的重力，下列叙述中正确的是
A．将小球的重力沿和方向分解
B．将小球的重力沿和方向分解
C．将小球的重力沿和方向分解
D．将小球的重力沿和方向分解
【答案】 C
5.1共点力的平衡（静态平衡问题）
知识点睛
1．平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态
在高中物理中，当物体缓慢移动时，往往认为物体在每个时刻都处于平衡状态。
2．共点力作用下物体的平衡条件：物体所受合力为零，即
3．共点力平衡条件推论
⑴ 物体在二力作用下平衡时，这两个力必等大、反向、作用在同一条直线上
⑵ 物体在三力作用下平衡时，若三个力不共线，则三个力的矢量图必为一闭合三角形
⑶ 物体受到多个力作用平衡时，其中任意一个力必定与余下的其它力的合力等大、反向、共线
4．正交分解法解平衡问题
正交分解法是解共点力平衡问题的基本方法，其优点是不受物体所受外力多少的限制。运用正交分解，可以将物体的平衡条件表示为
教师版说明：在解决平衡问题时，会涉及轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力特点，这些内容在上一讲的知识点中，建议老师复习一下。
例题精讲
例题说明：例1根据物体的平衡条件定性判断物体的受力；例2考察物体受多个作用力时，平衡条件的推论；例3、例4、例5物体考察三力平衡，可以用正交分解法求解，也可以用三角形法则求解；其中例5涉及杆的受力情况；例6是多力平衡，用正交分解法求解比较简单；例7由于弹簧既可以被拉伸，也可以被压缩，涉及多解问题。三维的平衡问题作为选讲的内容，在最后补充了一道题。
【例1】 如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与粗糙斜面体连接，与斜放的粗糙固定挡板接触且处于静止状态，弹簧处于竖直方向， 则斜面体此刻受到的外力个数有可能为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】 AC
【例2】 如图所示，一箱苹果沿着倾角为的斜面，以速度匀速下滑。在箱子的中央有一只质量为的苹果，求它受到周围苹果对它的合力的大小和方向
【答案】 ，竖直向上 学 ]
【例1】 如图所示，一个底面粗糙、质量为的斜面静止在水平地面上，斜面体斜面是光滑的，倾角为。 现用一端固定的轻绳系一质量也为的小球，小球静止时轻绳与斜面的夹角也是。当小球静止时绳的拉力大小。
【解析】小球受重力、斜面的支持力、绳的拉力，由平衡条件得
，
由以上两式解得绳的拉力为 。
【答案】
【例2】 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，点为其球心，碗的内表面及碗口均光滑。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为和的小球。当它们处于平衡状态时，质量为的小球与点的连线与水平线的夹角为。则两小球的质量比为
A． B． C． D．
【解析】 小球受三个力作用，重力，方向向下，碗对小球的支持力，方向沿半径指向圆心。绳对小球的拉力，方向沿绳。运用分解法或合成法得，并考虑到，得，选项A正确。
【答案】 A
【例3】 如图所示，一质量不计的横梁，端用铰链固定在墙壁上，端用细线悬挂在墙壁的点，已知绳与竖直墙壁之间的夹角为，悬挂物的质量，求物体对杆和绳的力为多大？
【解析】 设杆对点的力为，绳对点的力为，由于点在竖直方向上静止，点所受的合外力等于零，即、的合力为重力的平衡力，
，，
根据作用力和反作用力的大小相等，所以物体对杆和绳的作用力的大小分别为
，
【答案】
教师版说明：此题涉及杆的铰接问题，建议提高班的老师只要给学生说明即可，不用太过于强调这个问题，如果老师想讲一个刚接的（此时受力可能不沿杆）作为对比，可以用下面这道题。
如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一小滑轮，一轻绳的一端固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为的重物，则滑轮受到绳子的作用力为（取）
A． B．
C． D．
【解析】
以滑轮研究对象，悬挂重物的绳的张力是，故小滑轮受到绳的作用力沿、方向，大小都是，从图中看出，与间的夹角为，与间的夹角、与间的夹角均为，由此可以得。
【答案】 C
【例1】 质量为的木块放在水平地面上，在大小为，方向与水平成斜向上拉力作用下恰好沿水平地面匀速滑动。若改用水平拉力，使该木块在水平地面上仍匀速滑动，求水平拉力大小（取，，）
【答案】
【例2】 质量为的质点，与三根相同的轻弹簧相连，如图所示，静止时相邻两弹簧间的夹角均为，已知弹簧、对质点的作用力均为，则弹簧对质点的作用力大小可能为
A． B． C． D．
【答案】 ABCD
教师版说明：三维的平衡问题比较难，下面这道题老师可以作为选讲
如图所示，A、B为竖直墙壁上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面上。∠AOB=90º，∠COD=60º。若在O点处用轻绳悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受拉力的大小为
A． B．
C． D．
【答案】 D
直通高考
例题说明：这道题设问方式比较特别，且摩擦力方向不定，根据平衡条件反推出最大静摩擦力，有一定难度。
【例3】 如图所示，在固定斜面上的一物块受到一外力的作用，平行于斜面向上。若要物块在斜面上保持静止，的取值应有一定范围，已知其最大值和最小值分别为和（）。由此可求出
A．物块的质量
B．斜面的倾角
C．物块与斜面间的最大静摩擦力
D．物块对斜面的正压力
【答案】 C
5.2 动态平衡
知识点睛
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。从受力的角度看，有一部分是变力（动态力），因此这类问题是力的平衡问题中较难的一类问题。
动态平衡问题，可分为三力的动态平衡和多力的动态平衡。多力的动态平衡问题一般会利用正交分解法列平衡方程来解决；比较常见的问题是三力的动态平衡问题，方法也比较灵活。
本讲我们主要给大家介绍的是三力的动态平衡问题中，最常见的、考察相对较多的几种类型：
⑴ 物体所受的三个力中，有一个力的大小方向均不变（通常为重力，也可能是其他恒力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化。
方法总结：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
（请大家结合例11、例12练习）
⑵ 物体所受的三个力中，有一个力的大小方向均不变（通常为重力，也可能是其他恒力），其它二个力的大小、方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以发现力构成的矢量三角形与几何三角形相似。
方法总结：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。
（请大家结合例13、例14练习）
⑶ 物体所受的三个力中，有一个力的大小方向均不变（通常为重力，也可能是其他恒力），其它二个力的大小、方向均发生变化，但二者夹角保持。
方法总结：这是一类比较特殊的问题，由于两个力的夹角保持，因此可以利用正交分解列平衡
方程求解。（对于夹角不是的情况，解析法可能运算量较大，其他方法技巧性较强，
平时遇到的机会不多，我们就不讨论了）
对于其它类型的问题，主要也是以解析法和图解法为主，但可能会有一些特殊的技巧，请大家遇到具体问题具体分析，我们就不详细介绍了。
例题精讲
例题说明：例9是四个力的动态平衡，通过解析法求解；例10对应知识点中第三类问题，由于这类问题比较简单，所以例题放前面了；例11、例12对应知识点中第一类用图解法求解的类型；例13、例14是知识点中第二类，利用相似三角形求解的类型。建议老师结合例题讲解知识点。
【例1】 人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是
A．绳的拉力不断增大
B．绳的拉力保持不变
C．船受到的浮力保持不变
D．船受到的浮力不断减小
【解析】
对小船做受力分析，正交分解，列平衡方程，船匀速靠岸，绳子与竖直方向的夹角变小，通过三角函数的变化得出正确答案AD。 学 ]
【答案】 AD
【例1】 如图所示，表面光滑的半圆柱体固定在水平面上，小物块在拉力作用下从点沿圆弧缓慢上滑至点，此过程中始终沿圆弧的切线方向，则
A．小物块受的支持力逐渐变大
B．小物块受的支持力先变小后变大
C．拉力逐渐变小
D．拉力先变大后变小
【答案】 AC
【例2】 如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳使连结点缓慢向上移动而保持点的位置不变，则点向上移动时
A．绳的拉力逐渐增大
B．绳的拉力逐渐减小
C．绳的拉力先增大后减小
D．绳的拉力先减小后增大
【答案】 D
【例3】 如图所示，一个重力的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
【解析】 取球为研究对象，如图所示，球受重力、斜面支持力、挡板支持力。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。的大小变，但方向不变，始终与斜面垂直。的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图中画出的一系列虚线表示变化的。由此可知，先减小后增大，随增大而始终减小。
【答案】 挡板对球的压力先减小后增大；斜面对球的压力始终减小。
教师版说明：
如果老师想再练一道例11、例12同类的题，可选用下面这道。
在光滑的水平地面上，与竖直墙平行放置着一个截面为圆的柱状物体，在柱状物体与墙之间放一光滑圆球，在柱状物体的右侧竖直面上施加一水平向左的推力，使整个装置处于静止状态，现将柱状物体向左推过一段较小的距离，若使球与柱状物体仍保持静止状态，则与原来相比
A．推力变小
B．地面受到的压力变小
C．墙对球的弹力变大
D．球对柱状物体的弹力变大
【答案】 A
【例1】 如图所示，、两球用劲度系数为的轻弹簧相连，球用长为的细线悬于点，球固定在点正下方，且、间的距离恰为，此时绳子所受的拉力为，现把、间的弹簧换成劲度系数为的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为，则与的大小关系为
A． B． C． D．因、大小关系未知，故无法确定
【解析】 对小球受力分析如图所示，
由三角形相似得：；同理，当换用劲度系数为的轻弹簧时，再用三角形相似得出：，由以上两式比较可知，，C正确。
【答案】 C
【例2】 如图所示，是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆一端通过铰链固定在点，另一端悬挂一重为的重物，且端系有一根轻绳并绕过定滑轮。用力拉绳，开始时，现使缓慢变小，直到杆接近竖直杆。在此过程中，杆所受的力
A．大小不变 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【解析】 以点为研究对象，受力分析如图，
，所以。在移动过程中、长度不变，所以大小不变，A正确。
【答案】 A
教师版说明：
1.如果老师想再练一道例13、例14同类的题，可选用下面这道。
如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为，则，的变化情况是
A．都变大 B．不变，变小
C．都变小 D．变小，不变
【答案】 B
2.提高班和尖子班不建议在动态平衡讲过多的类型，让学生熟练掌握上述常考的类型即可。下面再补充一道涉及滑轮的题目，相对比较简单，老师可以选讲。（本题根据滑轮和绳中拉力特点，绳与竖直方向夹角始终不变，利用平衡条件求解即可）
如图所示，A、B是两根竖直立在地上的木桩，轻绳系在两木桩上不等高的P、Q两点，C为光滑的质量不计的滑轮，下面悬挂着重物G。现保持结点P的位置不变，当Q点的位置变化时，轻绳的张力大小变化情况是
A．点上下移动时，张力不变
B．点向上移动时，张力变大
C．点向下移动时，张力变小
D．条件不足，无法判断
【答案】 A