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- 2021-05-11 发布
专题07 三角函数
（八）基本初等函数Ⅱ（三角函数）
1．任意角的概念、弧度制
（1）了解任意角的概念.
（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2．三角函数
（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y=sinx，y =cosx,y =tanx的图象，了解三角函数的周期性.
（3）理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、 最大值和最小值、以及与x轴的交点等），理解正切函数在内的单调性.
（4）理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x +cos2x = 1,
（5）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（6）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
（十）三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
（十一）解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
对于三角函数与三角恒等变换的考查：
1．涉及本专题的选择题、填空题一般考查三角函数的基本概念、三角恒等变换及相关计算，同时也考查三角函数的图象与性质的应用等，解答题的考查则重点在于三角函数的图象与性质的应用.
2．从考查难度来看，本专题试题的难度相对不高，以三角计算及图象与性质的应用为主，高考中通常考查对三角的计算及结合图象考查性质等.
3．从考查热点来看，三角恒等变换、三角函数的图象与性质是高考命题的热点，要能够熟练应用三角公式进行三角计算，能够结合正弦曲线、余弦曲线，利用整体代换去分析问题、解决问题.同时要注意两者之间的综合.
对于解三角形的考查：
1．涉及本专题的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.
2．从考查难度来看，本专题试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.
3．从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.
考向一 三角恒等变换
样题1 （2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
【答案】
样题2 已知，，则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，则，由
，，则
，故选B.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.
考向二 三角函数的图象和性质
样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
样题4（2017年高考新课标Ⅲ卷）设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．在(,)单调递减
【答案】D
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.
（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.
样题5 （2017年高考浙江卷）已知函数．
（1）求的值．
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
【解析】（1）由，，．
得．
（2）由与
得．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得
，
所以，的单调递增区间是．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
考向三 利用正、余弦定理解三角形
样题6 （2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连接CD，则
△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
综上可得，△BCD的面积为，．
样题7 （2017新课标全国Ⅲ文科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】75°
【解析】由正弦定理，得，结合可得，则.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
样题8（2017天津文科）在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
于是，，
故．
【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．
考向四 解三角形的应用
样题9 宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得返回舱位于其南偏东60°方向，仰角为60°，救援中心测得返回舱位于其南偏西30°方向，仰角为30°，救援中心测得着陆点位于其正东方向．
（1）求两救援中心间的距离；
（2）求救援中心与着陆点间的距离．
【解析】（1）由题意知，则均为直角三角形，在中，，解得；在中，，解得.
又，则．
即两救援中心间的距离为万米.