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- 2021-05-11 发布
青岛市2020年高三统一质量检测
数学试题2020.04
全卷满分150 分.考试用时120分钟｡
一､单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位,复数则z的共轭复数z的虚部为
A. –i B.1 C. i D. -1
2.已知集合,集合B={x∈R||x-1|<2}, 则A∩B=
A. (0,3) B. (-1,3) C. (0,4) D. (-∞,3)
3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额(单位:元)服从正态分布则该市某居民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为
A.0.9759 B.0.84 C.0.8185 D.0.4772
附:随机变量服从正态分布则P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826,
, P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 .
4.设sin2则a, b,c的大小关系正确的是
A. a>b> c B. b>a> c C. b>c>a D. c>a>b
5.已知函数为自然对数的底数),若f(x)的零点为α,极值点为β,则α+β=
A.-1 B.0 C.1 D.2
6.已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,点E,F分别在线段PA, PC上,且EF//底面ABCD,则异面直线EF与PB所成角的大小为
A.30° B.45° C.60° D.90°
7.在同一直角坐标系下,已知双曲线C:的离心率为双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数的图象向右平移单位后得到曲线D,点A,B分别在双曲线C的下支和曲线D上,则线段AB长度的最小值为
A.2 D.1
8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为
且各次答对与否相互独立,则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率
二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分｡
9.已知向量设的夹角为θ,则
D. θ=135°
10.已知函数x∈R,则
A. -2≤f(x)≤2 B. f(x) 在区间(0,π)上只有1个零点
C. f(x) 的最小正周期为π 为f(x)图象的一条对称轴
11.已知数列的前n项和为S数列的前n项和为则下列选项正确的为
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列的通项公式为
12.已知四棱台的上下底面均为正方形,其中则下述正确的是
A.该四棱合的高为
C.该四棱台的表面积为26 D.该四棱合外接球的表面积为16π
三､填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分｡
13.若∀x恒成立,则实数a的取值范围为____
14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则f(2)=____
15. 已知a∈N,二项式展开式中含有项的系数不大于240,记a的取值集合为A,则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有______个 .
16.2020年是中国传统的农历“鼠年”,有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆Q的圆心,圆Q过坐标原点O;点L､S均在x轴上,圆L与圆S的半径都等于2,圆S､圆L均与圆Q外切｡已知直线l过点O .
(1) 若直线l与圆L､圆S均相切,则l截圆Q所得弦长为____ ;
(2)若直线l截圆L､圆S､圆Q所得弦长均等于d,则d=____.
(本题第一个空2分,第二个空3分)
四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡
17.(10分)
设等差数列的前n项和为等比数列的前n项和为已知n∈N*.
(1)求的通项公式;
(2)是否存在正整数k,使得且？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由｡
18.(12分)
在△ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边,.
(1)求角C ;
(2)若D为BC中点,在下列两个条件中任选一个,求AD的长度｡
条件①:△ABC 的面积S=4且B> A;
条件②:
注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡
19. (12 分)
在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O分别为AB, BE的中点, OF是异面直线AB和OC的公垂线｡
(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;
(2)记OCDE的重心为G,求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值.
20. (12 分)
某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡
(1)已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
成交额（百亿元）
9
12
17
21
27
求成交额y (百亿元) 与时间变量x (记2015 年为x=1, 2016年为x=2,……依次类推)的线性回归方程,并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ;
(2)在2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加A､B两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在A､B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X .
( i)求X的分布列及E(X);
(ii)已知每个订单由k(k≥2,k∈N* )件商品W构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y,假设,求E(Y)取最大值时正整数k的值.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.
21. (12 分)
已知O为坐标原点,椭圆C的左,右焦点分别为点
又恰为抛物线D的焦点,以为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2) 若直线l与D相交于A,B两点,记点A,B到直线x=-1的距离分别为直线l与C相交于E,F两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为
(i)证明:的周长为定值;
(ii)求的最大值.
22. (12 分)
已知函数的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1.
(1)当x∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2;
(2)设函数g(x)=xf(x),当x∈(0,1)时,证明: 0