2018届二轮复习椭圆问题中最值得关注的基本题型课件（江苏专用） 60页

专题 7 　解析几何 第 29 练　椭圆问题中最值得 关 注 的基本题型 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多 . 分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握 . 对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 解析　 由题意知 25 － m 2 ＝ 16 ，解得 m 2 ＝ 9 ，又 m >0 ，所以 m ＝ 3. 3 1 2 3 4 解析 答案 1 2 3 4 解析　 设左焦点为 F 0 ，连结 F 0 A ， F 0 B ， 则 四边形 AFBF 0 为平行四边形 . ∵ AF ＋ BF ＝ 4 ， ∴ AF ＋ AF 0 ＝ 4 ， ∴ a ＝ 2. 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 1 2 3 4 解析答案 (2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N . 求证： AN · BM 为定值 . 返回 1 2 3 4 解析答案 证明 　由 (1) 知， A (2,0) ， B (0,1). 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 当 x 0 ＝ 0 时， y 0 ＝－ 1 ， BM ＝ 2 ， AN ＝ 2 ， ∴ AN · BM ＝ 4. 故 AN · BM 为定值 . 返回 高考 必会题型 题型一　利用椭圆的几何性质解题 解析答案 解析答案 解　 设 P 点坐标为 ( x 0 ， y 0 ). 由题意知 a ＝ 2 ， 点评 点评 点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用 a 、 b 、 c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程 . 解析答案 (1) 求椭圆 C 的离心率； 解　 由题意可知， △ AF 1 F 2 为等边三角形， 解析答案 解析答案 解　 方法一　 a 2 ＝ 4 c 2 ， b 2 ＝ 3 c 2 ， 方法二　设 AB ＝ t ，因为 AF 2 ＝ a ，所以 BF 2 ＝ t － a ， 由椭圆定义 BF 1 ＋ BF 2 ＝ 2 a 可知， BF 1 ＝ 3 a － t ， 再由余弦定理 (3 a － t ) 2 ＝ a 2 ＋ t 2 － 2 at cos 60° 可得， 题型二　直线与椭圆相交问题 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 解得 a 2 ＝ 8 ， b 2 ＝ 4. 点评 (2) 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 . 解析答案 证明 　设直线 l ： y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0 ， b ≠ 0 ) , A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x M ， y M ). 得 ( 2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 kbx ＋ 2 b 2 － 8 ＝ 0. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 . 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决 . 求范围或最值问题，也可考虑求 “ 交点 ” ，由 “ 交点 ” 在椭圆内 ( 外 ) ，得出不等式，解不等式 . 点评 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 又 ∵ 过椭圆右焦点 F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为 2 ， 即 b 2 ＝ 4 ，又 a 2 － b 2 ＝ c 2 ， 解析答案 解析答案 整理可得 7 x 2 ＋ 12 x － 52 ＝ 0 ， 即 △ PAB 的边 AB 上的高，只要 L 与椭圆相切， 就有 L 与边 AB 的最大距离，即得最大面积 . 解析答案 ＝－ 256 C 2 ＋ 28 × 64 ＝ 0 ， 题型三　利用“点差法，设而不求思想”解题 解析答案 则 4 x 2 ＋ 5 y 2 ＝ 80 与 y ＝ x － 4 联立， 点评 (2) 如果 △ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F ，求直线 l 方程的一般式 . 解析答案 解　 如图，椭圆右焦点 F 的坐标为 (2,0) ，设线段 MN 的中点为 Q ( x 0 ， y 0 ) ， 点评 解析答案 又 B (0,4) ， ∴ (2 ，－ 4) ＝ 2( x 0 － 2 ， y 0 ) ， 故 得 x 0 ＝ 3 ， y 0 ＝－ 2 ， 即得 Q 的坐标为 (3 ，－ 2). 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ， y 1 ＋ y 2 ＝－ 4 ， 点评 即 6 x － 5 y － 28 ＝ 0. 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用 “ 点差法 ” 来求解 . 点评 (1) 求椭圆方程； 解析答案 焦点在直线 x － 2 y － 2 ＝ 0 上， ∴ 令 y ＝ 0 ，得焦点 (2,0) ， ∴ c ＝ 2 ， 解得 a ＝ 4 ， ∴ b 2 ＝ 16 － 4 ＝ 12 ， 返回 (2) 过 P (3,1) 作直线 l 与椭圆交于 A ， B 两点， P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程 . 解析答案 返回 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， ∵ 过 P (3,1) 作直线 l 与椭圆交于 A ， B 两点， P 为线段 AB 的中点 ， ∴ 由题意， x 1 ＋ x 2 ＝ 6 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2 ， 即 9 x ＋ 4 y － 31 ＝ 0. 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 在 Rt △ OFB 中， OF · OB ＝ BF · OD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 当 P ， A ， F 2 共线时取最大值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 由题意，设 F ′ 是左焦点 ， 则 △ APF 周长＝ AF ＋ AP ＋ PF ＝ AF ＋ AP ＋ 2 a － PF ′ ＝ 4 ＋ 6 ＋ PA － PF ′≤ 10 ＋ AF ′ ( A ， P ， F ′ 三点共线，且 P 在 AF ′ 的延长线上时，取等号 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析　 设这条弦的两端点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 整理得 x ＋ 2 y － 8 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析　 ∵ 线段 PF 1 的中点在 y 轴上， 设 P 的横坐标为 x ， F 1 ( － c, 0) ， ∴ － c ＋ x ＝ 0 ， ∴ x ＝ c ， ∴ P 与 F 2 的横坐标相等， ∴ PF 2 ⊥ x 轴， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析 　 设右焦点为 F 2 (1,0) ，则 AF 1 ＝ 4 － AF 2 ， BF 1 ＝ 4 － BF 2 ， 所以 AF 1 ＋ BF 1 ＋ AB ＝ 8 ＋ AB － ( AF 2 ＋ BF 2 ) ， 显然 AF 2 ＋ BF 2 ≥ AB ， 当且仅当 A ， B ， F 2 共线时等号成立， 所以当直线 l 过点 F 2 时， △ ABF 1 的周长取最大值 8 ， 此时直线方程为 y ＝－ x ＋ 1 ，即 x ＋ y － 1 ＝ 0. x ＋ y － 1 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 又因为 b 2 ＝ a 2 － c 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析　 圆心 C (1,0) 为椭圆的右焦点， [3,15] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 (1) 求该椭圆的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 (2) 设 B 1 ( － 2,0) ， B 2 (2,0) ，过 B 1 作直线 l 交椭圆于 P ， Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线 l 的方程 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解　 由题意知直线 l 的倾斜角不为 0 ， 故可设直线 l 的方程为： x ＝ my － 2. 代入椭圆方程得 ( m 2 ＋ 5) y 2 － 4 my － 16 ＝ 0 ， 设 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， ＝ ( my 1 － 4)( my 2 － 4) ＋ y 1 y 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ＝ ( m 2 ＋ 1) y 1 y 2 － 4 m ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 16 即 16 m 2 － 64 ＝ 0 ，解得 m ＝ ±2 ， ∴ 直线 l 的方程为 x ＝ ±2 y － 2 ，即 x ±2 y ＋ 2 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2016· 课标全国乙 ) 设圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 15 ＝ 0 的圆心为 A ，直线 l 过点 B (1,0) 且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C ， D 两点，过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E . (1) 证明 EA ＋ EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； 解析答案 解 　因为 AD ＝ AC ， EB ∥ AC ，故 ∠ EBD ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ADC ， 所以 EB ＝ ED ，故 EA ＋ EB ＝ EA ＋ ED ＝ AD . 又圆 A 的标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ，从而 AD ＝ 4 ，所以 EA ＋ EB ＝ 4. 由题设得 A ( － 1,0) ， B (1,0) ， AB ＝ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M ， N 两点，过点 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P ， Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 　当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x ＝ 1 ， MN ＝ 3 ， PQ ＝ 8 ， 四边形 MPNQ 的面积为 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 (2) 设点 C 的坐标为 (0 ，－ b ) ， N 为线段 AC 的中点， 证明： MN ⊥ AB . 由 (1) 的计算结果可知 a 2 ＝ 5 b 2 ， 返回