2019届二轮复习解三角形学案（全国通用） 12页

2019 年高考数学二轮复习创新课堂 考情速递 1 真题感悟 真题回放 1（2018•新课标Ⅲ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若△ABC 的面积为 ，则 C=（ ） A． B． C． D． 【答案】：C 2．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC 中，cos = ，BC=1，AC=5，则 AB=（ ） A．4 B． C． D．2 【答案】：A 【解析】：在△ABC 中，cos = ，cosC=2× =﹣ ， BC=1，AC=5，则 AB= = = =4 ． 故选：A． 3．（2018 年浙江）在 △ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a= 7，b=2，A=60°，则 sin B= ， c= ． 【答案】： 21 7 3 4．（2018 年天津）在 △ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 bsin A=acos（B-π 6 ）． （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A-B）的值． 【解析】（1）在 △ ABC 中，由正弦定理得 a sin A= b sin B ，得 bsin A=asin B， 又 bsin A=acos（B-π 6 ）． ∴asin B=acos（B-π 6 ），即 sin B=cos（B-π 6 ）=cos Bcos π 6+sin Bsin π 6= 3 2 cos B+1 2sin B， ∴tan B= 3， 又 B∈（0，π），∴B=π 3 ． （2）在 △ ABC 中，a=2，c=3，B=π 3 ， 由余弦定理得 b= a2+c2-2accos B = 7，由 bsin A=acos（B-π 6 ），得 sin A= 3 7 ， ∵a＜c，∴cos A= 2 7 ， ∴sin 2A=2sin Acos A=4 3 7 ， cos 2A=2cos2A-1=1 7 ， ∴sin（2A-B）=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4 3 7 ×1 2-1 7 × 3 2 =3 3 14 ． 2 热点题型 题型一：利用正、余弦定理解三角形 例 1．（2018 年北京）在 △ ABC 中，a=7，b=8，cos B=-1 7 ． （1）求∠A； （2）求 AC 边上的高． （2）由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B， 即 64=49+c2+2×7×c×1 7 ， 即 c2+2c-15=0， 得（c-3）（c+5）=0， 得 c=3 或 c=-5（舍）， 则 AC 边上的高 h=csin A=3× 3 2 =3 3 2 ． 变式训练 1 （2018•丹东二模）已知△ABC 的面积为 S，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 4S=a2﹣（b﹣c） 2，bc=4，则 S=（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】：A 【解析】∵4S=a2﹣（b﹣c）2，bc=4， ∴4× bcsinA=2bc﹣（b2+c2﹣a2），可得：8sinA=8﹣8cosA，可得：sinA+cosA=1， ∴可得：sin（A+ ）= ， ∵0＜A＜π，可得： ＜A+ ＜ ， ∴A+ = ，解得：A= ， ∴S= bc=2． 故选：A． 题型三：与三角形面积有关的问题 例 3.(2018 年新课标Ⅰ文)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin C＋csin B＝4asin Bsin C,b2 ＋c2－a2＝8,则 △ ABC 的面积为 . 分析：先利用正弦定理求得 A 的值，再利用余弦定理求得 bc 的值，最后借助三角形的面积公式求解计算即 可。 【答案】2 3 3 变式训练 3 （2018•大庆模拟）已知如图，△ABC 中，AD 是 BC 边的中线，∠BAC=120°，且 • =﹣ ． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）若 AB=5，求 AD 的长． 【解析】：（Ⅰ）∵ • =﹣ ，∴AB•AC•cos∠BAC=﹣ AB•AC=﹣ ， 即 AB•AC=15， ∴S△ABC= AB•AC•sin∠BAC= ×15× = ． 3：新题预测 1．（2018•青岛二模）如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为（ ） A． m B． m C． m D． m 【答案】：A 【解析】由正弦定理得 ， ∴ ， 故 A，B 两点的距离为 50 m，故选：A． 2（2018•珠海二模）设锐角△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，且 a=1，B=2A，则 b 的取值范围为（ ） A．（ ， ） B．（1， ） C．（ ，2） D．（0，2） 【答案】：A 专项训练 解三角形 1. 在 ABC 中, 若 1c  , 3a  , 2 3A  ,则b 为（ ） A.1 B.2 C. 7 D. 10 2 【答案】A 【解析】： 由余弦定理,得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ,化简得 2 2 0b b   ,解得 1b  ,或 2b   （舍去）. 2.在▲ABC 中，若 a＝2，b＝2 2 ，c＝ 6 ＋ 2 ，则 A 的度数是（ ） A、 030 B、 045 C、 060 D、 075 【答案】A 【解析】： bc acbA 2cos 222  2 3 )26(222 2)26()22( 222    ，所以 A ＝ 030 . 3. 已知 ABC 的面积为 3 , 3,2 3AC ABC    ，则 ABC 的周长等于（ ） A．3 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 3 3 2 【答案】A 【解析】：利用三角形面积公式和余弦定理得： 2 21 3 3 13, ,3 2 ,2 2 2 2b ac a c ac     所以 acca 3)(3 2  得 3a c  4. 已知 △ ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则 △ ABC 的面积为 ( ) A．9 B．18 C．9 3 D．18 3 【答案】C 【解析】：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，∴ BA＝BC＝6，∴ S△ABC＝ 2 1 ×BA×BC×sinB＝ 2 1 ×6×6× 2 3 ＝9 3 ． 5. 在△ABC 中，若 2 2 tan tan b a B A  ，则△ABC 的形状是（ ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．不能确定 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】：由正弦定理： 2 2 sin cos sin cos sin, ,sin cos sin coscos sin sin cos sin A B A B A A A B BA B B A B     sin 2 sin 2 ,2 2 2 2A B A B A B    或 , 2  BABA 或 . 6. 如图，要测量河对岸 A、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距 40 米的 C、D 两点，测得 学 ] ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则 AB 的距离是（ ）. （A）20 2 （B）20 3 （C）40 2 （D）20 6 学 ] 【答案】D 【解析】：根据已知条件三角形 BCD 是等腰直角三角形，所以 BC=40 2 ，在三角形 ACD 中，根据正弦定 理得： 00 30sin45sin 40 AC ，解得 AC=20 2 ，三角形 ACB 中，根据余弦定理得： 2202402)240()220( 222 AB ，解得 AB=20 6 。 7. 已知 , ,a b c 分别为 ABC 三个内角 , ,A B C 的对边，若 2 2 2 11, 2 b c a c bc b     ，则sinC 的值为（ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 1 3 D． 2 2 3 【答案】A | |X|X|K] 8. 已知 △ ABC 的三边 a，b，c 和其面积 S 满足 2 2( )S c a b   ，则 tan c 的值（ ）。 A. 8 15 B. 15 17 C. 8 15 D. 8 15  【答案】：A 【解析】：由余弦定理得 2 2 1( ) 2 cos 2 2 (1 cos ) sin2S c a b ab C ab ab C ab C         ， 22sin1 cos 1 1 12, , tansin 4 4 2 42sin cos2 2 C C C C CC       ， ∴ 2 2 12tan 2 82 4tan 1 151 tan 1 ( )2 4 C C C       ，故选择 A。 9.（2018•南平一模）在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，2asinB=b，则角 A 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：根据题意，锐角△ABC 中，2asinB=b， 则有 2sinAsinB=sinB，变形可得 sinA= ； 又由△ABC 为锐角三角形，则 0＜A＜ ， 则 A= ； 故选：C． 10. （2018•江西模拟）已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 + = ， 则 b 的值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 11. 在锐角三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a，b，c， 3( cos cos ) 2 sin , 1a B b A c C b   ， 则 c 的最小值是（ ）。 A. 3 2 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 4 【答案】A 【解析】：因为 3( cos cos ) 2 sina B b A c C  ，根据正弦定理得： 3(sin cos sin cos ) 2sin sinA B B A C C  ，即 学 ] 33sin 2sin sin , sin 0, sin 2C C C C C    ，又三角形 ABC 是锐角三角形，所以 1cos 2C  ，根据余弦定理得： 2 2 2 2 212 cos 1 2 1 12c a b ab C a a a a           ， 所以 2 2 21 3 31= )2 4 4c a a a     （ ，当且仅当 1 2a  时，等号成立，此时 min 3 2c  . 12. 在 ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知 2b  ， 6B  ， sin 2 11 cos2 C C  ，则△ABC 的面积为（ ） A. 2 3 2 B. 3 1 C. 2 3 2 D. 3 1 【答案】B 二．填空题 13 在 中,若 ,则 . 【答案】3 【解析】：由 1cos 4B   得， 2 15sin 1 cos 4B B   。由正弦定理 sin sin a b A B  得 2a  。又 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，即 2 12 0c c   ，解得 3c  。 14（2018•合肥三模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 A=45°，2bsinB﹣csinC=2asinA， 且△ABC 的面积等于 3，则 b= ． 【答案】3 【解析】：∵A=45°，2bsinB﹣csinC=2asinA， ∴由余弦定理可得： ，① 由正弦定理可得：2b2﹣c2=2a2，② 又 ，即 ，③ 由①②③联立解得 b=3． 故答案为：3． 15 （2018•济宁二模）如图在平面四边形 ABCD 中，∠A=45°，∠B=60°，∠D=150°，AB=2BC=4，则四边 形 ABCD 的面积为 ． 【答案】 6﹣ 所以：∠DAC=∠DCA=15°， 过点 D 作 DE⊥AC， 则：AE= AC= ， 所以：DE=tan15°AE=（2﹣ =2 ﹣3． 则： ， =6﹣3 +2 ， =6﹣ ． 故答案为：6﹣ 16. （2018•和平区二模）在△ABC 中，AB=3，cosA= ，△ABC 的面积 S= ，则 BC 边长为 ． 【答案】 【解析】：∵AB=3，cosA= ，可得：sinA= = ， ∴△ABC 的面积 S= = AB•AC•sinA= ，解得：AC=3， ∴由余弦定理可得：BC= = = ． 故答案为： ．