2019届二轮复习解题技巧第3讲　圆锥曲线的综合问题课件（62张）（全国通用） 62页

第 3 讲　圆锥曲线的综合问题 专题 五 　 解析 几何 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题 . 2 . 试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 热点一　范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ，或者利用式子的几何意义求解 . 例 1 　已知 N 为圆 C 1 ： ( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 24 上一动点，圆心 C 1 关于 y 轴的对称点为 C 2 ，点 M ， P 分别是线段 C 1 N ， C 2 N 上的点， 且 (1) 求点 M 的轨迹方程； 解答 解　 连接 MC 2 ， 所以 P 为 C 2 N 的中点， 所以点 M 在 C 2 N 的垂直平分线上， 所以 | MN | ＝ | MC 2 | ， 所以点 M 在以 C 1 ， C 2 为焦点的椭圆上， (2) 直线 l ： y ＝ kx ＋ m 与点 M 的轨迹 Γ 只有一个公共点 P ，且点 P 在第二象限，过坐标原点 O 且与 l 垂直的直线 l ′ 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 8 相交于 A ， B 两点，求 △ PAB 面积的取值范围 . 解答 (3 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 6 kmx ＋ 3 m 2 － 6 ＝ 0 ， 因为直线 l ： y ＝ kx ＋ m 与椭圆 Γ 相切于点 P ， 所以 Δ ＝ (6 km ) 2 － 4(3 k 2 ＋ 1) (3 m 2 － 6) ＝ 12(6 k 2 ＋ 2 － m 2 ) ＝ 0 ，即 m 2 ＝ 6 k 2 ＋ 2 ， 因为点 P 在第二象限，所以 k >0 ， m >0 ， 设直线 l ′ 与 l 垂直交于点 Q ， 则 | PQ | 是点 P 到直线 l ′ 的距离， 解决范围问题的常用方法 (1) 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解 . (2) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 . 思维升华 解答 由 Δ ＝ 128 － 32(8 － a 2 ) ＝ 0 ，得 a 2 ＝ 4 ， 解答 解　 根据已知，得 M (0 ， m ) ， 设 A ( x 1 ， kx 1 ＋ m ) ， B ( x 2 ， kx 2 ＋ m ) ， 且 Δ ＝ 4 m 2 k 2 － 4( k 2 ＋ 4)( m 2 － 4)>0 ， 即 k 2 － m 2 ＋ 4>0 ， ∴ 3( x 1 ＋ x 2 ) 2 ＋ 4 x 1 x 2 ＝ 0 ， 即 m 2 k 2 ＋ m 2 － k 2 － 4 ＝ 0 ， 当 m 2 ＝ 1 时， m 2 k 2 ＋ m 2 － k 2 － 4 ＝ 0 不成立， ∵ k 2 － m 2 ＋ 4>0 ， ∴ 1< m 2 <4 ，解得－ 2< m < － 1 或 1< m <2 ， 综上所述，实数 m 的取值范围为 ( － 2 ，－ 1) ∪ (1,2). 热点二　定点、定值问题 1. 由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式： y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，则直线必过定点 ( x 0 ， y 0 ) ；若得到了直线方程的斜截式： y ＝ kx ＋ m ，则直线必过定点 (0 ， m ). 2. 解析几何中的定值问题是指某些几何量 ( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 ) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值 . 例 2 　 (2018· 北京 ) 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 经过点 P (1,2) ，过点 Q (0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N . (1) 求直线 l 的斜率的取值范围； 解答 解　 因为抛物线 y 2 ＝ 2 px 过点 (1,2) ， 所以 2 p ＝ 4 ，即 p ＝ 2. 故抛物线 C 的方程为 y 2 ＝ 4 x . 由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0) ， 依题意知 Δ ＝ (2 k － 4) 2 － 4 × k 2 × 1>0 ， 解得 k <0 或 0< k <1 . 又 PA ， PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 (1 ，－ 2). 从而 k ≠ － 3. 所以直线 l 的斜率的取值范围是 ( － ∞ ，－ 3) ∪ ( － 3,0) ∪ (0,1). 证明 证明 　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， (1) 动直线过定点问题的两大类型及解法 ① 动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y ＝ kx ＋ t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝ mk ，得 y ＝ k ( x ＋ m ) ，故动直线过定点 ( － m, 0). ② 动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 . 思维升华 (2) 求解定值问题的两大途径 ② 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 跟踪演练 2 　 (2018· 荆州质检 ) 已知倾斜角 为 的 直线经过抛物线 Γ ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F ，与抛物线 Γ 相交于 A ， B 两点，且 | AB | ＝ 8. (1) 求抛物线 Γ 的方程； 解答 令 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 p ， 由抛物线的定义得 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ＝ 4 p ＝ 8 ， ∴ p ＝ 2. ∴ 抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x . (2) 过点 P (12,8) 的两条直线 l 1 ， l 2 分别交抛物线 Γ 于点 C ， D 和 E ， F ，线段 CD 和 EF 的中点分别为 M ， N . 如果直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余，求证：直线 MN 经过一定点 . 证明 证明　 设直线 l 1 ， l 2 的倾斜角分别为 α ， β ， 直线 l 1 的斜率为 k ，则 k ＝ tan α . ∵ 直线 l 1 与 l 2 的倾斜角互余， ∴ 直线 CD 的方程为 y － 8 ＝ k ( x － 12) ， 即 y ＝ k ( x － 12) ＋ 8. 设 C ( x C ， y C ) ， D ( x D ， y D ) ， 可得点 N 的坐标为 (12 ＋ 2 k 2 － 8 k, 2 k ) ， 显然当 x ＝ 10 时， y ＝ 0 ， 故直线 MN 经过定点 (10 ， 0). 1. 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ，将不确定性问题明确化 . 其步骤为：假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在；否则，元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 2. 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 热点三　探索性问题 解答 设椭圆的焦点 F 1 (0 ， c ) ， 由 F 1 到直线 4 x ＋ 3 y ＋ 12 ＝ 0 的距离为 3 ， 又 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ，求得 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 3. 解答 设直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1( k ≠ 0) ， 消去 y 并整理得 (4 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 8 kx － 12 ＝ 0 ， Δ ＝ (8 k ) 2 ＋ 4(4 k 2 ＋ 1) × 12 ＝ 256 k 2 ＋ 48>0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 假设存在点 P (0 ， t ) 满足条件， 所以 PM 平分 ∠ APB . 所以直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补， 所以 k PA ＋ k PB ＝ 0. 即 x 2 ( y 1 － t ) ＋ x 1 ( y 2 － t ) ＝ 0 . (*) 将 y 1 ＝ kx 1 ＋ 1 ， y 2 ＝ kx 2 ＋ 1 代入 (*) 式， 整理得 2 kx 1 x 2 ＋ (1 － t )( x 1 ＋ x 2 ) ＝ 0 ， 整理得 3 k ＋ k (1 － t ) ＝ 0 ，即 k (4 － t ) ＝ 0 ， 因为 k ≠ 0 ，所以 t ＝ 4. 解决探索性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时，要分类讨论 . (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件 . (3) 当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (2018· 山东、湖北部分重点中学模拟 ) 已知长轴长为 4 的 椭 圆 ( a > b >0 ) 过点 P ， 点 F 是椭圆的右焦点 . ( 1) 求椭圆方程； 解答 解　 ∵ 2 a ＝ 4 ， ∴ a ＝ 2 ， (2) 在 x 轴上是否存在定点 D ，使得过 D 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点 . 设点 E 为点 B 关于 x 轴的对称点，且 A ， F ， E 三点共线？若存在，求 D 点坐标；若不存在，说明理由 . 解答 解　 存在定点 D 满足条件 . 设 D ( t, 0) ，直线 l 方程为 x ＝ my ＋ t ( m ≠ 0) ， 消去 x ，得 (3 m 2 ＋ 4) y 2 ＋ 6 mt · y ＋ 3 t 2 － 12 ＝ 0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 E ( x 2 ，－ y 2 ) ， 由 A ， F ， E 三点共线，可得 ( x 2 － 1) y 1 ＋ ( x 1 － 1) y 2 ＝ 0 ， 即 2 my 1 y 2 ＋ ( t － 1)( y 1 ＋ y 2 ) ＝ 0 ， 解得 t ＝ 4 ， 此时由 Δ >0 得 m 2 >4. ∴ 存在定点 D (4,0) 满足条件，且 m 满足 m 2 >4. 真题押题精练 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 已知 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 C 交于 A ， B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ， E 两点，则 | AB | ＋ | DE | 的最小值为 ________. 真题体验 解析 16 答案 解析　 因为 F 为 y 2 ＝ 4 x 的焦点， 所以 F (1,0). 由题意知，直线 l 1 ， l 2 的斜率均存在且不为 0 ，设 l 1 的斜率为 k ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 同理可得 | DE | ＝ 4(1 ＋ k 2 ). 即 k ＝ ±1 时，取得等号 . 解答 解答 解　 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由题意知， Δ >0 ， 押题预测 押题依据　 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查 . 关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色 . 解答 押题依据 已知椭圆 C 1 ： ( a >0 ) 与抛物线 C 2 ： y 2 ＝ 2 ax 相交于 A ， B 两点，且两曲线的焦点 F 重合 . (1) 求 C 1 ， C 2 的方程； 解 　 因为 C 1 ， C 2 的焦点重合， 所以 a 2 ＝ 4. 又 a >0 ，所以 a ＝ 2. 抛物线 C 2 的方程为 y 2 ＝ 4 x . (2) 若过焦点 F 的直线 l 与椭圆分别交于 M ， Q 两点，与抛物线分别交于 P ， N 两点，是否存在斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l ， 使得 ＝ 2 ？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 . 解答 当 l ⊥ x 轴时， | MQ | ＝ 3 ， | PN | ＝ 4 ，不符合题意， ∴ 直线 l 的斜率存在， ∴ 可设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 0) ， P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， M ( x 3 ， y 3 ) ， N ( x 4 ， y 4 ).