2019届二轮复习(文)2-5-3-1空间中的平行与几何体的体积课件（36张） 36页

5.3 　立体几何大题 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - - 7 - 1 . 证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1) 证明线线平行常用的方法 : ① 利用平行公理 , 即证两直线同时和第三条直线平行 ; ② 利用平行四边形进行平行转换 ; ③ 利用三角形的中位线定理证线线平行 ; ④ 利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法 : ① 利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质 ; ② 勾股定理 ; ③ 线面垂直的性质 : 即要证两直线垂直 , 只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可 , 即 l ⊥ α , a ⊂ α ⇒ l ⊥ a. 2 . 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 (1) 证明线面、面面平行 , 需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直 , 需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直 , 需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直 , 需转化为证明线面垂直 , 进而转化为证明线线垂直 . - 8 - 3 . 求几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体 , 可直接利用公式计算 . 对于某些三棱锥 , 有时可采用等体积转换法求解 . (2) 对于不规则几何体 , 可采用割补法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时 , 注意圆柱的轴截面是矩形 , 圆锥的轴截面是等腰三角形 , 圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . 4 . 解决平面图形的翻折问题 , 关键是抓住平面图形翻折前后的不变性 , 即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性 . 5.3.1 　空间中的平行 与 几何体的体积 - 10 - 考向一 考向二 平行关系的证明及求体积 例 1 (2018 湖南衡阳一模 , 文 18) 如图 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 是正方形 , PA ⊥ 底面 ABCD , PA=AB , E , F , G 分别是 PA , PB , BC 的中点 . (1) 证明 : 平面 EFG ∥ 平面 PCD ; (2) 若平面 EFG 截四棱锥 P-ABCD 所得截面的面积 为 , 求四棱锥 P-ABCD 的体积 . - 11 - 考向一 考向二 (1) 证明 因为 E , F 分别为 PA , PB 的中点 , 所以 EF ∥ AB. 又 AB ∥ CD , 所以 EF ∥ CD. ∵ F , G 分别为 PB , BC 的中点 , ∴ FG ∥ PC. ∵ PC ∩ CD=C , EF ∩ FG=F , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 PCD. (2) 解 设 H 为 AD 的中点 , 连接 GH , EH , 则 GH ∥ EF , 则平面 EFG 截四棱锥 P-ABCD 的截面为梯形 EFGH , ∵ PA ⊥ 面 ABCD , 又 DC ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ DC , 且 DC ⊥ AD , ∴ DC ⊥ 平面 PAD. - 12 - 考向一 考向二 又 EH ⊂ 平面 PAD , ∴ CD ⊥ EH. ∵ GH ∥ CD , ∴ GH ⊥ EH , ∴ 梯形 EFGH 为直角梯形 . 不妨设 PA=AB=a , - 13 - 考向一 考向二 解题心得 (1) 证明面面平行首先考虑面面平行的判定定理 , 即证两条相交的直线与一个平面平行 , 或证一个平面的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线平行 . (2) 求几何体的体积首先考虑几何体的底面面积和几何体的高 , 如果都易求 , 直接代入体积公式即可 . - 14 - 考向一 考向二 - 15 - 考向一 考向二 (1) 证明 在平面 ABCD 内 , 因为 ∠ BAD= ∠ ABC= 90 ° , 所以 BC ∥ AD. 又 BC ⊄ 平面 PAD , AD ⊂ 平面 PAD , 故 BC ∥ 平面 PAD. (2) 解 取 AD 的中点 M , 连接 PM , CM. 由 AB=BC= AD 及 BC ∥ AD , ∠ ABC= 90 ° 得四边形 ABCM 为正方形 , 则 CM ⊥ AD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于 底面 ABCD , 平面 PAD ∩ 平面 ABCD=AD , 所以 PM ⊥ AD , PM ⊥ 底面 ABCD. 因为 CM ⊂ 底面 ABCD , 所以 PM ⊥ CM. 设 BC=x , 则 CM=x , CD= x , PM= x , PC=PD= 2 x . 取 CD 的 中点 N , 连接 PN , 则 PN ⊥ CD , - 16 - 考向一 考向二 例 2 (2018 山东潍坊三模 , 文 18) 如图所示 , 五面体 ABCDEF , 四边形 ACFD 是等腰梯形 , AD ∥ FC , ∠ DAC = , BC ⊥ 面 ACFD , CA=CB=CF= 1, AD= 2 CF , 点 G 为 AC 的中点 . (1) 在 AD 上是否存在一点 H , 使 GH ∥ 平面 BCD ? 若存在 , 指出点 H 的位置并给出证明 ; 若不存在 , 说明理由 ; (2) 求三棱锥 G-ECD 的体积 . - 17 - 考向一 考向二 解 (1) 存在点 H , H 为 AD 中点 . 证明如下 : 连接 GH , 在 △ ACD 中 , 由三角形中位线定理可知 GH ∥ CD . 又 GH ⊄ 平面 BCD , CD ⊂ 平面 BCD , ∴ GH ∥ 平面 BCD. - 18 - 考向一 考向二 (2) 由题意知 AD ∥ CF , AD ⊂ 平面 ADEB , CF ⊄ 平面 ADEB , ∴ CF ∥ 平面 ADEB. 又 CF ⊂ 平面 CFEB , 平面 CFEB ∩ 平面 ADEB=BE , ∴ CF ∥ BE , ∴ V G-ECD =V E-GCD =V B-GCD . - 19 - 考向一 考向二 解题心得 (1) 证明平行关系 , 常常利用转化法 . 若证明线面平行或面面平行可以转化为证明线线平行 ; 若证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行 . 若题目中已出现了中点 , 可考虑在图形中再取中点 , 构造中位线进行证明 . (2) 求几何体的体积也常用转化法 , 转化有两个方面 , 一是几何体高的转化 , 另一方面是几何体底面的转化 , 如本例中求几何体的体积 V G-ECD =V E-GCD =V B-GCD , 转化的目的是为了几何体的高和底面积易求 . - 20 - 考向一 考向二 对点训练 2 如图 , 正方形 ABCD 的边长等于 2, 平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , AF ∥ BE , BE= 2 AF= 2, EF = . ( 1) 求证 : AC ∥ 平面 DEF ; (2) 求三棱锥 C-DEF 的体积 . - 21 - 考向一 考向二 (1) 证明 连接 BD , 记 AC ∩ BD=O , 取 DE 的中点 G , 连接 OG , FG. ∵ 点 O , G 分别是 BD 和 ED 的中点 , ∴ 四边形 AOGF 是平行四边形 , ∴ AO ∥ FG , 即 AC ∥ FG. 又 AC ⊄ 平面 DEF , FG ⊂ 平面 DEF , ∴ AC ∥ 平面 DEF. - 22 - 考向一 考向二 (2) 解 在四边形 ABEF 中 , 过 F 作 FH ∥ AB 交 BE 于点 H. 由已知条件知 , 在梯形 ABEF 中 , AB=FH= 2, EF = , EH= 1, 则 FH 2 =EF 2 +EH 2 , 即 FE ⊥ EB , 从而 FE ⊥ AF. ∵ AC ∥ 平面 DEF , ∴ 点 C 与点 A 到平面 DEF 的距离相等 , ∴ V C-DEF =V A-DEF . ∵ DA ⊥ AB , 且平面 ABCD ⊥ 平面 ABEF , ∴ DA ⊥ 平面 ABEF , - 23 - 考向一 考向二 求点到面的距离 例 3 (2018 山西吕梁一模 , 文 19) 在如图所示的多面体 ABCDE 中 , 已知 AB ∥ DE , AB ⊥ AD , △ ACD 是正三角形 , AD=DE= 2 AB= 2, BC = , F 是 CD 的中点 . (1) 求证 : AF ∥ 平面 BCE ; (2) 求证 : 平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3) 求 D 到平面 BCE 的距离 .   - 24 - 考向一 考向二 (1) 证明 取 CE 的中点 M , 连接 BM , MF. ∵ F 为 CD 的中点 , ∴ MF