2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练6 5页

小题专项训练 6　解三角形 一、选择题 1．在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b,2asin B＝b，则 A 等于(　　) A．π 3　 B．π 4　　 C．π 6　 D． π 12 【答案】C 【解析】由 2asin B＝b 及正弦定理，得 2sin Asin B＝sin B，故 sin A＝ 1 2.又△ABC 为锐角 三角形，则 A＝π 6. 2．(2019 年四川模拟)△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角 B 的值为(　　) A．π 6　 B．π 3　　 C．π 6或5π 6 　 D．π 3或2π 3 【答案】C 【解析】由余弦定理 cos B＝a2＋c2－b2 2ac 结合已知可得 cos B＝ 1 2tan B，则 cos B＝ cos B 2sin B.由 tan B 有意义，可知 B≠π 2，则 cos B≠0，所以 sin B＝1 2，则 B＝π 6或5π 6 .故选 C． 3．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为(　　) A．50 2 m　 B．50 3 m C．25 2 m　 D．25 2 2 m 【答案】A 【解析】由正弦定理得 AB sin∠ACB＝ AC sin B，所以 AB＝ AC·sin∠ACB sin B ＝50 sin 45° sin 30° ＝50 2 (m)． 4．(2019 年吉林四平模拟)在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，若 BD＝3，CD＝4，AD＝5， AB＝7，则 BC＝(　　) A．2 2　 B．2 3　　 C． 37　 D． 13 【答案】D 【解析】如图，∠ADB＋∠CDB＝180°，则 cos ∠ADB＝－cos ∠CDB，即 32＋52－72 2 × 3 × 5 ＝－32＋42－BC2 2 × 3 × 4，解得 BC＝ 13.故选 D． 5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c＝2a，bsin B－asin A＝1 2asin C，则 sin B 为(　　) A． 7 4 　 B．3 4　　 C． 7 3 　　　　 D．1 3 【答案】A 【解析】由 bsin B－asin A＝1 2asin C，可得 b2－a2＝1 2ac，又 c＝2a，得 b＝ 2a.∵cos B＝ a2＋c2－b2 2ac ＝a2＋4a2－2a2 4a2 ＝3 4，∴sin B＝ 1－(3 4 )2＝ 7 4 . 6．(2018 年江西南昌模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos 2A ＝sin A，bc＝2，则△ABC 的面积为(　　) A．1 4　 B．1 2　　 C．1　 D．2 【答案】B 【解析】由 cos 2A＝sin A，得 1－2sin2A＝sin A，解得 sin A＝1 2(负值舍去)．又 bc＝2，得 S△ABC＝1 2bcsin A＝1 2. 7．若△ABC 的三个内角满足sin B－sin A sin B－sin C＝ c a＋b，则 A＝(　　) A．π 6　 B．π 3　　 C．2π 3 　 D．π 3或2π 3 【答案】B 【解析】由sin B－sin A sin B－sin C＝ c a＋b及结合正弦定理，得b－a b－c＝ c a＋b，整理得 b2＋c2－a2＝bc， 所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2.由 A 为三角形的内角，知 A＝π 3. 8．(2018 年河南开封一模)已知锐角三角形 ABC，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2 ＝a(a＋c)，则 sin2A sin(B－A)的取值范围是(　　) A．(0,1)　 B．(0， 2 2 ) C．(1 2， 2 2 )　 D．(1 2，1 ) 【答案】C 【解析】由 b2＝a(a＋c)及余弦定理，得 c－a＝2acos B．由正弦定理，得 sin C－sin A＝2sin Acos B．∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋B)－sin A＝2sin Acos B，∴sin(B－A)＝sin A．∵△ABC 是 锐角三角形，∴B－A＝A，即 B＝2A.∴π 6＜A＜π 4，则 sin2A sin(B－A)＝sin A∈(1 2， 2 2 ). 9．△ABC 中，三边长 a，b，c 满足 a3＋b3＝c3，那么△ABC 的形状为(　　) A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形　　　 　 D．以上均有可能 【答案】A 【解析】由题意可知 c 边最大，即 c>a，c>b，则 a2c＋b2c>a3＋b3＝c3，则 a2＋b2－c2>0. 由余弦定理得 cos C>0，∴0a2＋b2； ③cos Bcos C>sin Bsin C； ④△ABC 是钝角三角形． 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】∵2Ssin A<(BA → ·BC → )sin B，∴2×1 2bc·sin Asin A0，∴cos B>sin A>0，∴A，B 均是锐角．而 cos B＝sin(90°－B)，∴sin(90°－B)>sin A，即 90°－B>A，则 A＋B<90°.∴C>90°.△ ABC 是钝角三角形．由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab <0，cos A＝b2＋c2－a2 2bc >0，即有 c2>a2＋ b2，a2