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- 2021-05-11 发布
天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试
理科数学试卷
一、单选题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则在方向上的投影为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
5．在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8. 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值（ ）
A． B．2 C． D．3
12．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（用序号作答）
14．设为锐角，若，则的值为_______.
15．设函数，若，，则等于______．
16．已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______．
三、解答题:(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．已知数列满足，，其中为的前项和，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若数列满足,求的值.
A
B
C
P
H
M
18．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点， 为的中点，，.
（Ⅰ）求与平面成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面.
若存在，请说明点N的位置，若不存在，请说明理由.
19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘下了100个白凤桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在，的白凤桃中随机抽取5个，再从这5个白凤桃中随机抽2个，记这2个白凤桃质量落在间的个数为随机变量X，求X的分布列；
（Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的白凤桃树上大约还有100000个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A．所有白凤桃均以20元/千克收购；
B．低于350克的白凤桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
（参考数据：）
20．已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
21．设函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；
（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数，且），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线与曲线的公共点的极坐标.
23．已知.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时不等式成立，求的取值范围.
天水市一中2020届2019—2020学年度第一学期第五次（期末）考试
理科数学试卷（答案）
一、选择题（12*5=60分）
1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C
11．D 12．B
11.详解：过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.
12．详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大此时，,点M为三角形ABC的中心中，有
二、填空题（4*5=20分）
13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分）
14．
15．
16．或
详解：因为，所以函数在上为增函数且，所以当时，与有一个公共点，当时， 令有一解即可，设，令得，因为当时，，当时，，所以当时，有唯一极小值，即有最小值，故当时有一公共点，故填或.
三、简答题
17．（Ⅰ）因为，，，
两式相减得
注意到，，
于是，所以.（6分）
（Ⅱ）因为，于是
所以.（12分）
18．（Ⅰ）解：在平面中，过点作
因为 平面，所以 平面，
由 底面，得，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，.
A
B
C
P
H
M
N
z
x
y
D
设平面的法向量为，
因为 ，，
由 得
令，得.
设与平面成角为
因为
所以
即 .（6分）
（Ⅱ）解：因为 ，设，所以 ， 又因为 ，所以 .
因为 平面，平面的法向量，
所以 ，解得 .
即点N是靠近点B的四等分点（12分）
19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在和的比例为，
∴应分别在质量为和的白凤桃中各抽取3个和2个.
随机变量X的分部列为：
X
0
1
2
P
（6分）
（Ⅱ）方案好，理由如下：
由频率分布直方图可知，白凤桃质量在的频率为
同理，白凤桃质量在，，，，的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05
若按方案收购：
∵白凤桃质量低于350克的个数为个
白凤桃质量不低于350克的个数为55000个
∴收益为元
若按方案收购：
根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为 （元）
∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.（12分）
20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；
因为椭圆过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（4分）
（Ⅱ）设
联立得，
，，.
直线，令得，即；
同理可得.
因为,所以；
，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.（12分）
21.（Ⅰ）∵，∴，∴
由题设知，即e-a=0，解得a=e．
经验证a=e满足题意．（4分）
（Ⅱ）令，即ex=a，则x=lna，
①当lna＜1时，即0＜a＜e
对于任意x∈（-∞，lna）有，故f（x）在（-∞，lna）单调递减；
对于任意x∈（lna，1）有，故f（x）在（lna，1）单调递增，
因此当x=lna时，f（x）有最小值为成立．所以0＜a＜e
②当lna≥1时，即a≥e对于任意x∈（-∞，1）有，
故f（x）在（-∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）．
因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，即a≤2e，
综上，a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e．（12分）
22. （Ⅰ）消去参数，得曲线的直角坐标方程.
将，代入，得.
所以曲线的极坐标方程为.（5分）
（Ⅱ）将与的极坐标方程联立，消去得.
展开得.
因为，所以.
于是方程的解为，即.
代入可得，所以点的极坐标为.（5分）
23．（Ⅰ）当时，，即
故不等式的解集为．（5分）
（Ⅱ）当时成立等价于当时成立．
若，则当时；
若，的解集为，所以，故．
综上，的取值范围为．（5分）