2018届二轮复习解题方法：分类讨论　化繁为简学案（全国通用） 6页

分类讨论　化繁为简 一、由概念、法则、公式引起的分类讨论 由数 概念、法则、公式的限制而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角、等差、等比数列{an}的前n项和公式等．‎ ‎【例1】 (2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得则a8＝a1q7＝×27＝32.‎ ‎【类题通法】‎ 本题易忽略对q＝1的讨论，而直接由>0，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为(　　)‎ A．x＋y－7＝0‎ B．2x－5y＝0‎ C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0‎ D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.‎ ‎2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－‎4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－ 为减函数，不合题意，若00，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当00两种情况．‎ ‎(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝‎2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝‎2a，‎ 解得a＝或a＝0(舍去)．‎ ‎∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.‎ 当a≥1时，a＋1≥2，‎ ‎∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝‎2a，‎ ‎∴2(a－1)＝‎2a，无解．‎ 综上，f＝6.‎ ‎2．设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－‎2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由f(x)＝x2－ax＋a＋3，知f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－‎2a的图象恒过(2,0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示．‎ 由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，‎ ‎∴要使f(x0)<0，则需解得a>7.‎ 当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝ ‎<0，‎ 故函数f(x)在区间上为增函数，‎ 又f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立．‎ 综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).‎ 四、根据图形位置或形状分类讨论 由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.‎ ‎【例4】设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．‎ ‎【解析】①若∠PF‎2F1＝90°.‎ 则|PF1|2＝|PF2|2＋|F‎1F2|2，‎ 又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F‎1F2|＝2，‎ 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.‎ ‎②若∠F1PF2＝90°，则|F‎1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，‎ ‎∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，‎ ‎∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.‎ 综上知，＝或2.‎ ‎【类题通法】‎ ‎(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．‎ ‎(2)破解此类题的关键点：‎ ‎①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．‎ ‎②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．‎ ‎③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为(　　)‎ A． B．4 C． D．4或 ‎【答案】D ‎【解析】当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝×××6＝.‎ ‎2．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；‎ 当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，‎ 所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．‎ 综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.‎ ‎3．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝(　　)‎ A．－ B． C．0 D．0或－ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．‎ 结合图形可知斜率k的值为0或－.‎