- 1.05 MB
- 2021-05-11 发布
存瑞中学2019-2020学年度第一学期第一次质检高二数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟
（第I卷）
一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分。每题只有一个正确的选项，请将正确选项的序号涂在答题卡上。否则不得分。）
1.在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件，下列事件中的必然事件是（ ）
A. 4件都是正品 B. 至少有一件次品
C. 4件都是次品 D. 至少有一件正品
【答案】B
【解析】
抽取4件中至多3件次品,即至少有一件正品,选D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P(A∪B)＝ ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），由此能求出结果．
【详解】∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，
记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）
A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生” B. “至少1名男生”与“全是女生”
C. “至少1名男生”与“全是男生” D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
【答案】B
【解析】
从名男生和名女生中任选名学生参加演讲比赛，“至少名男生”与“全是女生”是对立事件；“至少名男生”与 “至少有名是女生”不互斥；“至少名男生与”全是男生“不互斥；“怡好有名男生”与“怡好名女生”是互斥不对立事件，故选B.
4.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将第一次抽取的卡片上的数记为a,第二次抽取的卡片上的数记为b,先后两次抽取的卡片上的数记为(a,b),可得共25种抽取方法，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种，可得其概率.
【详解】解：将第一次抽取的卡片上的数记为a,第二次抽取的卡片上的数记为b,先后两次抽取的卡片上的数记为(a,b),则共有(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5),共25种抽取方法,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的抽取方法有10种,所以所求概率，
故选A.
【点睛】本题主要考查利用古典概型概率公式计算概率，相对简单.
5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
【此处有视频，请去附件查看】
6.完成下列抽样调查，较为合理的抽样方法依次是（）
①从30件产品中抽取3件进行检查．
②某校高中三个年级共有2460人，其中高一890人、高二820人、高三810人，为了了解学生对数学建议，拟抽取一个容量为300的样本；
③某剧场有28排，每排有32个座位，在一次报告中恰好坐满了听众，报告结束后，为了了解听众意见，需要请28名听众进行座谈．
A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
观察所给的3组数据,根据3组数据的特点把所用的抽样选出来即可得出结论.
【详解】
解:观察所给的四组数据,①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法简单随机抽样;②个体有了明显了差异所以选用分层抽样法分层抽样;③中总体数量较多且编号有序适合于系统抽样,
所以D选项是正确的
【点睛】本题主要考查抽样的方法，熟悉随机抽样、分层抽样、系统抽样的特点及适用条件是解题的关键.
7.在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x-1＜0”发生的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用几何概型求概率,先解不等式,再利用解得区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得.
【详解】解:由几何概型可知,事件“3x-1＜0”可得,
∴在区间[0,2]上随机取一个实数x,则事件“3x-1＜0”发生的概率为: ,
故选:D
【点睛】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
8.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为，则椭圆的标准方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的简单性质列出方程求解即可.
【详解】解:焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,
可得,,即,解得, ,
所求椭圆方程为.
所以A选项是正确的.
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，利用椭圆的性质求解基本量，相对简单.
9.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形．设直角三角形中一个锐角的正切值为3．在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不妨设两直角边为3,1，可得两正方形的面积，利用几何概型公式计算可得答案.
【详解】解：不妨设两直角边为3,1，可得大正方形的边长为，小正方形的边长为2，由几何概型公式可得概率，
故选B.
【点睛】本题主要考查几何概型的概念和计算，设两直角边为3,1，得出两正方形的边长和面积是解题的关键.
10.如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得正方形边长为2,E到AB距离大于时满足题意,由几何概型公式计算可得答案.
【详解】解:由题意得，正方形边长为2,E到AB的距离大于时，△ABE的面积大于,易得E在长宽分别为2，的矩形内,又正方形面积为4,由几何概型的公式得到△ABE的面积大于的概率,
故选C.
【点睛】本题主要考查几何概型的概念和计算,得出点E在长宽分别为2，的矩形内，再利用几何概型计算概率是解题的关键.
11.设，是椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆定义得，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于轴时的最小值为，从而可得，求得b的值，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．
【详解】过的直线交椭圆于两点，
则，
．
当垂直轴时最小，值最大，
此时，则，
解得，可得，
则椭圆的离心率，故选A．
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
12.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意和椭圆的定义得出，同时可得，代入可得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】解：由椭圆的定义知: |PF1|+|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,
即,又因为,所以,
所以有: ,,
故椭圆的离心率的取值范围是,
故选C.
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及离心率的相关计算，相对不难.
（第II卷）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号的横线处。）
13.方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
焦点在轴上的椭圆的标准方程为，其中，由此可得，解出即可得到实数的取值范围
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，
该椭圆的标准方程为满足，
解得
则的取值范围为
故答案为
【点睛】本题已知椭圆是焦点在轴上椭圆，求参数取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题。
14.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
【答案】
【解析】
基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.
【此处有视频，请去附件查看】
15.一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为____.
【答案】
【解析】
分析：由题意可得，属于与区间长度有关几何概率模型，试验的全部区域长度为5，基本事件的区域长度为1，利用几何概率公式可求．
详解：“长为5的木棍”对应区间 ，“两段长都大于2”为事件 则满足的区间为 ，
根据几何概率的计算公式可得，
故答案为：．
点睛：
本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．
16.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】
设，由余弦定理知，所以，故填.
三、解答题：（本题共6小题，总分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知椭圆中心在原点，焦点为，，且离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于A，B两点，求的周长．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的两个焦点坐标，得到a，再由c,求得b,从而得椭圆标准方程；
（2）根据椭圆的定义可求.
【详解】解：（1）因为，，，
所以，
得到.又椭圆的焦点在x轴上，
所以求椭圆的标准方程为.
（2）因为F1的直线l交椭圆于两点，
根据椭圆的定义的周长等于．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，解题的关键是运用椭圆的定义，是容易题.
18.某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间，将统计结果分成组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）求续驶里程在的车辆数；
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率为1，，可以求出；（2）根据直方图可知续驶里程在的车辆数为：；（3）由题意，续驶里程在的车辆共有5辆，随机抽取2辆的有10种情况，其中恰有一辆车的续驶里程为有6
种情况，故其概率为.
【详解】（1）由直方图可得：
∴.
（2）由题意可知，续驶里程在的车辆数为：
（3）由（2）及题意可知，续驶里程在的车辆数为，分别记为，
续驶里程在的车辆数为，分别记为，
设事件“其中恰有一辆汽车的续驶里程为”
从该辆汽车中随机抽取辆，所有的可能如下：
共种情况，事件包含的可能有共种情况，则.
考点：1.直方图的应用；2.古典概型的求解.
19.设()；.
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，且p与q一真一假，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）若是的充分不必要条件，可得到p,q对应集合的关系，从而得到结果.
（2），且为假，为真得到p,q一真一假，在此两种情况下分别求出满足条件的x范围.
【详解】解：（1）由得：
若q是p的充分不必要条件，则即,
所以
所以，实数的取值范围是
（2）当时，因为为假，为真，所以一真一假。
p真q假时，得,所以2