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- 2021-05-11 发布
理数试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先求出集合B再求出交集.
【详解】，
∴，则，
故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数运算法则求解即可.
【详解】．故选D．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3.曲线在处的切线的倾斜角的大小是( )
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出曲线在处切线的斜率即可.
【详解】由可得
所以，即曲线在处的切线的斜率为
所以曲线在处的切线的倾斜角的大小是
故选：A
【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单.
4.设点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件得到点的坐标为，然后算出和即可.
【详解】因为点对应的复数为，所以点的坐标为
所以
因为点在第二象限，所以
所以点的极坐标为
故选：A
【点睛】本题考查的是复数的几何意义和直角坐标与极坐标的互化，属于基础题.
5.已知复数是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于
A. -2 B. 2 C. D. -1
【答案】C
【解析】
是纯虚数,所以，选C.
6.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
7.在同一平面直角坐标系中，方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件算出变换后的图形对应的方程即可.
【详解】由可得，
代入方程可得，对应的图形是圆
故选：C
【点睛】本题考查的是伸缩变换，较简单.
8.若，则（ ）
A. B. C. 1 D. -1
【答案】A
【解析】
分析：直接利用复数的代数形式四则运算法则化简求解即可．
详解：z=2+i，z•=（2+i）（2﹣i）=5，
则=．
故选A．
点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
.
9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A. 函数上单调递减 B. 函数在处取得极大值
C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据导数在研究函数的单调性与极值的作用求解即可．
【详解】解：由图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极小值，
故A，B，C错；D对；
故选：D．
【点睛】本题主要考查导数在研究函数的单调性与极值时的作用，属于基础题．
10.已知复数z满足，则（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，化简得，再结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，则
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的求解，熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
11.，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为所以,
，，
解得.
故选：B.
12.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直角坐标与极坐标互化公式，即可得到答案．
【详解】由曲线的极坐标方程，两边同乘，可得，
再由，可得：，
所以曲线的极坐标方程化为直角坐标为
故答案选B
【点睛】本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式是解题的关键，属于基础题．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.
13.在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为__________．
【答案】4
【解析】
两点，，在同一条直线上，
点在第四象限，点在第二象限.
所以.
答案为：4.
14.由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分的几何意义得到直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为
【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为
故答案为.
【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.
15.在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出.
【详解】因为，
由，得，
由，得，即，即，
因为直线与圆相切，所以
【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
16.已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ______，ab=________．
【答案】 (1). 5, (2). 2
【解析】
由题意可得，则，解得，则．
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为（，）、共轭为等．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数满足.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设复数，利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.
（2）利用共轭复数的概念以及复数的加法运算求出，然后再利用复数模的求法即可求解.
【详解】（1）设复数，则
由复数相等得，解得
（2）由（1）得
∴
∵
∴
∴.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算、复数相等、共轭复数的概念、复数模的求法，属于基础题.
18.已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；
（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.
【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.
19.（1）求曲线在处的切线方程；
（2）计算定积分.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求导后根据导数的几何意义求解即可；
（2）直接根据定积分的定义求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴切线平行于轴，
∴曲线在点处的切线方程为；
（2）．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义与定积分的求法，属于基础题．
20.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）求圆和直线的直角坐标方程；
（2）试判断圆与直线是否相交，若相交则求出它们两交点间距离；若不相交则说明理由.
【答案】（1），；（2）是，.
【解析】
【分析】
（1）由，得，再结合转换公式，，即可得出结论；
（2）由（1）可得圆的圆心坐标为，半径，利用几何法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵，∴，
∵，，，
∴圆的直角坐标方程为，即，
直线的直角坐标方程为；
（2）由（1）可得圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
∴圆与直线相交，
两交点间距离为．
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
21.（1）求直线，与曲线的交点坐标；
（2）在平面直角坐标中，已知，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程.
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程与曲线方程解方程组即可求出答案；
（2）设点坐标为，则，根据斜率公式化简即可求出答案．
【详解】解：（1）把直线方程与曲线方程联立方程组得，
解得，或，
∴直线与曲线的交点坐标为，；
（2）设点坐标为，则，
则直线、的斜率分别为，，
由题意可得，即，
化简得，
∴点的轨迹方程为．
【点睛】本题主要考查直线与曲线的交点的求法，考查轨迹方程的求法，属于基础题．
22.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）[，+∞）
【解析】
【分析】
（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．
【详解】（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的导数为
f′（x）=ex（2﹣x2），
由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，
由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．
即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），
单调增区间为（﹣，）．
（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex的导数为
f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，
由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，
即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，
则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，
解得a≥．
则有a的取值范围为[，+∞）．
【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．