【数学】2020届一轮复习人教B版（文）37推理与证明作业 10页

天天练37　推理与证明 小题狂练 一、选择题 ‎1．[2019·重庆马蜀中学月考]用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c，d中恰有一个偶数”时正确的假设为(　　)‎ A．自然数a，b，c，d都是奇数 B．自然数a，b，c，d都是偶数 C．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数 D．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数 答案：D 解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数．‎ ‎2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 答案：B 解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．‎ ‎3．[2019·洛阳模拟]下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)‎ A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数 B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数 C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数 D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数 答案：B 解析：A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.‎ ‎4．[2019·渭南市一模]古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：‎ 他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为(　　)‎ A．45 B．55‎ C．65 D．66‎ 答案：B 解析：由已知中：‎ 第1个图中黑点有1个，‎ 第2个图中黑点有3＝1＋2个，‎ 第3个图中黑点有6＝1＋2＋3个，‎ 第4个图中黑点有10＝1＋2＋3＋4个，‎ ‎…‎ 故第10个图中黑点有a10＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55个．故选B.‎ ‎5．[2019·大连调研]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(　　)‎ A．21 B．34‎ C．52 D．55‎ 答案：D 解析：‎ 由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.‎ ‎6．[2019·安徽省名校联考]某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了(　　)‎ A．B，D两镇 B．A，B两镇 C．C，D两镇 D．A，C两镇 答案：C 解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；‎ 若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.‎ ‎7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为(　　)‎ A．435 B．465‎ C．478 D．496‎ 答案：B 解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.‎ ‎8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是(　　)‎ ‎2 017　2 016　2 015　2 014　……6　5　4　3　2　1‎ ‎ 　4 033 　4 031 　4 029…………11　9　7　5　3‎ ‎8 064　8 060………………20　16　12　8‎ ‎　16 124……………………36　28　20‎ ‎…………………………‎ A．2 017×22 016 B．2 018×22 015‎ C．2 017×22 015 D．2 018×22 016‎ 答案：B 解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，‎ 第2行的最后一个数为3×20，‎ 第3行的最后一个数为4×21，‎ ‎……‎ 第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，‎ 表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·潍坊市一模]观察式子1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<…，则可归纳出1＋＋＋…＋<________.‎ 答案：(n≥1)‎ 解析：根据题意，每个不等式的右边的分母是n＋1.不等式右边的分子是2n＋1，‎ ‎∴1＋＋＋…＋<(n≥1)．‎ ‎10．[2019·吉林长春质检]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．‎ 答案：8月4日 解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”‎ ‎，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．‎ ‎11．[2019·河北省五校联考]在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是________．‎ 答案：3 972‎ 解析：由题意可设第1组的数为1，‎ 第2组的数为2,4，‎ 第3组的数为5,7,9，‎ ‎……‎ 所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n项和公式，可知前n组共有个数．由于2 016＝<2 018<＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n组最后一个数是n2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.‎ ‎12．[2019·河南商丘实验中学模拟]如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．‎ 答案：＝＝ 解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．‎ 课时测评 一、选择题 ‎1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ 答案：D 解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ ‎2．[2019·山东菏泽模拟]设m，n，t都是正数，则m＋，n＋，t＋三个数(　　)‎ A．都大于4 B．都小于4‎ C．至少有一个大于4 D．至少有一个不小于4‎ 答案：D 解析：依题意，令m＝n＝t＝2，则三个数为4,4,4，排除A，B，C选项，故选D.‎ ‎3．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的 答案：A 解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.‎ ‎4．[2019·荆州质检]若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：‎ ‎①2＋4＝6；‎ ‎②8＋10＋12＝14＋16；‎ ‎③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；‎ ‎……‎ 按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为(　　)‎ A．29 B．30‎ C．31 D．32‎ 答案：C 解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．‎ ‎5．[2019·长春调研]分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ 答案：C 解析：要证0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故选C.‎ ‎6．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：A 解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.‎ ‎7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S1，外接圆的面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故＝.‎ ‎8．①已知p3＋q3＝2，证明：p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.‎ ‎②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，且方程x2＋ax＋b＝0有两个根，求证：方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是(　　)‎ A．①与②的假设都错误 B．①的假设正确，②的假设错误 C．①与②的假设都正确 D．①的假设错误，②的假设正确 答案：D 解析：对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·四川成都七中模拟]如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有________个顶点．(用n表示)‎ 答案：(n＋2)(n＋3)‎ 解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．‎ ‎10．设函数f(x)＝(x>0)，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.‎ 答案： 解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.‎ 所以当n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.‎ ‎11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解析：(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinα·cos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)‎ ‎＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α ‎＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)‎ ‎＝1－cos2α－＋cos2α＝.‎