甘肃省天水市甘谷第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题 16页

甘谷一中2019——2020学年第二学期高二第一次月考数学（文）‎ 一、单选题(每小题5分，共 60 分)‎ ‎1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可.‎ ‎【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，‎ 或，，‎ ‎，即 ，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的计算，利用图象确定集合关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值.‎ ‎【详解】因为角的终边与单位圆交于点，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.‎ ‎3.若执行如图所示的程序框图，则输出的m＝（　 　）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别当时代入程序框图计算到即可。‎ ‎【详解】由题意可得：‎ 不满足 不满足 不满足 满足 跳出循环。‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了程序框图，属于基础题.‎ ‎4.等比数列的公比,则等于（ ）‎ A. B. ‎-3 ‎C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过观察，可将分母的每个数提出一个公比，再进行求解 ‎【详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考等比数列性质的应用，属于基础题 ‎5.不等式的解集是（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,可得,进一步得到不等式的解集.‎ ‎【详解】解:因为,所以,‎ 所以或.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属基础题.‎ ‎6.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数定义域，再由复合函数单调性得结论．‎ ‎【详解】由得，即函数定义域是，‎ 在上递增，在上递减，‎ 而是增函数，‎ ‎∴的减区间是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时先求出函数的定义域，函数的单调区间应在定义域内考虑．‎ ‎7.过点且平行于直线的直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与直线平行的直线方程为：，把点代入即可得出．‎ ‎【详解】解：设与直线平行的直线方程为：，‎ 把点代入可得：，解得． ∴要求的直线方程为：． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了平行线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8.若向量，则（ ）‎ A. 30 B. ‎31 ‎C. 32 D. 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再与相乘即可求出答案.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎9.已知满足条件，则的最大值为 A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，作出约束条件所表示的平面区域，再由目标函数化为，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域如下：‎ 因为目标函数可化为，‎ 因此求目标函数的最大值，只需直线在轴的截距最大；‎ 由图像可得，当直线过点时，截距最大，‎ 此时.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由题意作出平面区域，结合图像求解即可，属于常考题型.‎ ‎10.下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析选项中函数单调性以及值域，综合即可得答案．‎ ‎【详解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；‎ ‎（B）的值域是（0，＋∞），排除；‎ ‎（D）＝，在（0，）上递减，在（，＋∞）上递增，不符；‎ 只有（C）符合题意.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．‎ ‎11.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，则（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.‎ ‎【详解】A. 若，则与可能平行，可能异面，所以A不正确.‎ B. 若，则与可能平行，可能相交，所以B不正确.‎ C. 若，由，根据面面垂直的判定定理可得，所以C正确.‎ D若，且，，则与可能平行，可能异面，可能相交, 所以D不正确.‎ ‎【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎12.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)‎ A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. b＜a＜c ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据y＝(x>0)是增函数和y＝x是减函数可求得结果.‎ ‎【详解】∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.‎ ‎∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.‎ 故本题答案为D.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.‎ 二、填空题(每小题5分，共20 分) ‎ ‎13.函数的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．‎ ‎【详解】解：要使函数f（x）有意义，则，‎ 即，‎ 解得，‎ 故函数的定义域为，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．‎ ‎14.已知点在圆上运动，则的最大值与最小值的积为______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何意义，表示原点到点P的距离．求出原点到圆心的距离，结合圆的半径可得所求最大值和最小值．‎ ‎【详解】圆的标准方程为，表示原点到点P的距离．由圆的几何性质知，，由z的最大值与最小值的积为．‎ 故答案为12．‎ ‎【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系．解题关键是对代数式的几何意义的理解，即表示原点到点P的距离，从而可得解法．‎ ‎15.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.‎ ‎【答案】30.8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差．‎ ‎【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为，‎ 方差为 故答案为：30.8‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础．‎ ‎16.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用辅助角公式将函数解析式进行化简，利用三角函数变换规则得出函数的解析式，即可得出的值．‎ ‎【详解】，将该函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换，在解题时要将函数解析式化为或的形式，然后由变换规则求出所得函数的解析式，考查分析问题的能力，属于中等题．‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.的内角的对边分别为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；‎ ‎（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 则，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）因为的面积为，所以，即，‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎18.某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表（单位：人）‎ 性别 学生人数 抽取人数 女生 ‎18‎ 男生 ‎3‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．‎ ‎【答案】（1）， （2）．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求出男生的数量，由抽样比相同，可得的值；‎ ‎（2）分别求出从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件数，从3名男生选中的2人都是男生的事件数，可得抽出2人都是男生的概率.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，，又，所以；‎ ‎（2）记从女生中抽取的2人为，，从男生中抽取的3人为，，，‎ 则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有 ‎，，，，，‎ ‎，，，，共10种．‎ 设选中的2人都是男生的事件为，‎ 则包含的基本事件有，，共3种．‎ 因此．‎ 故2人都是男生的概率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样及由古典概率公式计算概率，相对不难.‎ ‎19.如图是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意点，、分别是与的中点.‎ 求证：（1）平面；（2）平面平面.‎ ‎【答案】（1）见详解（2）见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由、分别是与的中点可知，平面，平面，即可证明.‎ ‎（2）由垂直于所在的平面，可知，由是的直径且是圆周上不同于，的任意点，可知，则平面，由平面，即可证明.‎ ‎【详解】（1）、分别是与的中点 又平面，平面 平面 ‎（2）垂直于所在的平面，包含于所在的平面 又是的直径且是圆周上不同于，的任意点 即 又，平面，平面 平面 又平面 平面平面 ‎【点睛】本题考查线面平行与面面垂直，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调增区间；‎ ‎（3）求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得解析式，从而利用周期公式求周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由得，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以．‎ ‎（2）由，得 ，‎ 所以函数的单调递增区间是.‎ ‎（3）由得，所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题.‎ ‎21.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且. ‎ ‎(I)求数列{an}通项公式；‎ ‎(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由题意知：.‎ 又，‎ 解得：，‎ 所以 ‎（Ⅱ）由题意知：，‎ 又 所以,‎ 令,‎ 则，‎ 因此 ‎,‎ 又 两式相减得 所以.‎ ‎【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前 n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）求函数定义域；‎ ‎（2）若，判断函数单调性，并用单调性定义证明；‎ ‎（3）解关于的不等式．‎ ‎【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义域的定义直接计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，，设，计算 得到证明.‎ ‎（3）讨论和两种情况，根据函数的单调性解得不等式答案.‎ ‎【详解】（1）由题意：，解得：，则函数的定义域为：‎ ‎（2）因为，所以 ‎，函数在上单调递增.‎ 设，且，则 ‎，即，在上单调递增 ‎（3）由题意，即 当时，，解得：；当时，，解得：‎ 综上所述：当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数表达式，函数单调性的证明，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.‎