【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(3) 4页

‎(七十九)‎ ‎1．若A2n3＝10An3，则n＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ 答案　B 解析　原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.‎ ‎2．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是(　　)‎ A．20种 B．19种 C．10种 D．9种 答案　B 解析　“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A52，error拼写错误的种数为A52－1＝19.‎ ‎3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)‎ A．324 B．328‎ C．360 D．648‎ 答案　B 解析　首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A92＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A41A81A81＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．‎ ‎4．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有(　　)‎ A．60种 B．20种 C．10种 D．8种 答案　C 分析　先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．‎ 解析　根据题意，可分两步：‎ 第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；‎ 第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10(种)情况．‎ 故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.‎ ‎5．(2019·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，‎ 若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有(　　)‎ A．50种 B．72种 C．48种 D．42种 答案　D 解析　C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.‎ ‎6．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日于7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有(　　)‎ A．81种 B．810种 C．9 600种 D．9 720种 答案　D 解析　(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．‎ ‎7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为(　　)‎ A．56 B．63‎ C．72 D．78‎ 答案　D 解析　若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.‎ ‎8．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 答案　D 解析　共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66种．‎ ‎9．(2019·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有(　　)‎ A．24 B．28‎ C．36 D．48‎ 答案　D 解析　分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．‎ ‎(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24种；‎ ‎(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24种．‎ 因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D.‎ ‎10．(2019·广西柳州高中、南宁二中联考)在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2个，北京大学2个，浙江大学1个，并且清华大学和北京大学都要求推荐对象中必须有男生，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)‎ A．36种 B．24种 C．22种 D．20种 答案　B 解析　根据题意，分两种情况讨论：①将3名男生推荐给每个大学各1人，2名女生分别推荐给北京大学和清华大学，共有A33A22＝12种推荐方法；②将3名男生分成两组分别推荐给北京大学和清华大学，其余2名女生推荐给剩下的2个大学各1人，共有C32A22A22＝12种推荐方法．故共有12＋12＝24种推荐方法，故选B项．‎ ‎11．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为(　　)‎ A．53 B．59‎ C．66 D．71‎ 答案　D 解析　记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A33＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A22＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A33＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A33＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A33＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A33＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71个，选D项．‎ ‎12．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有__________种．‎ 答案　2 400‎ 解析　共有A52A55＝2 400种不同的安排方法．‎ ‎13．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．‎ 答案　200‎ 解析　分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200种．‎ ‎14．某校2019年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有________种．‎ 答案　1 320‎ 解析　若第一个节目排相声甲，有A66＝720种排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有C51A55＝600种排法．根据分类加法计数原理可得共有720＋600＝1 320种排法．‎ ‎15．(2019·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．‎ 答案　180‎ 解析　从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180.‎ ‎16．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求 ‎(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？‎ ‎(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？‎ 答案　(1)24　(2)30‎ 解析　(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24种．‎ ‎(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的不同选法种数为C42C42－C42＝30种．‎ ‎17．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：‎ ‎(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？‎ ‎(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？‎ 答案　(1)100 800个　(2)14 400个　(3)5 760个 解析　(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；‎ 第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况；‎ 第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800个．‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14 400个．‎ ‎(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760个．‎