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- 2021-05-11 发布
§9.1 直线的方程
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考情考向分析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.
1.平面直角坐标系中的基本公式
(1)两点的距离公式：
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝.
(2)中点公式：
已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝.
2.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
(2)倾斜角的范围：[0°，180°).
3.直线的斜率
(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝ (x1≠x2).若直线的倾斜角为θ，则k＝tan θ.
4.直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
概念方法微思考
1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？
提示 倾斜角α∈[0，π)，当α＝时，斜率k不存在；因为k＝tan α.当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠时就不是了.
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ )
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
题组二 教材改编
2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
答案 A
解析 由题意得＝1，解得m＝1.
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题组三 易错自纠
4.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
答案 B
解析 由直线方程可得该直线的斜率为－，
又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.
5.如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
解析 由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，
则直线m的方程为 .
答案 x－2y＋2＝0或x＝2
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；
③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1， ].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2) (2018·抚顺调研)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞).
引申探究
1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.
解 如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，
由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
思维升华 (1)倾斜角α与斜率k的关系
①当α∈时，k∈[0，＋∞).
②当α＝时，斜率k不存在.
③当α∈时，k∈(－∞，0).
(2)斜率的两种求法
①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.
跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于( )
A.1±或0 B.或0
C. D.或0
答案 A
解析 ∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，
即＝，即a(a2－2a－1)＝0，
解得a＝0或a＝1±.故选A.
(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
答案
解析 直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，
所以k＝tan α≥1.
又y＝tan α在上是增函数，
因此≤α<.
题型二 求直线的方程
例2 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解 (1)方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求.
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行).
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.
若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程：
(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；
(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
解 (1)当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.
当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.
将P(2,3)代入方程，得a＝－1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，
则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，
解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 (2018·包头模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程.
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5＝＋≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当00，b>0)，
因为直线l经过点P(4,1)，
所以＋＝1.
(1)＋＝1≥2 ＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
一、选择题
1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.150° D.120°
答案 B
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k，
化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝.
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x＝2 B.y＝1
C.x＝1 D.y＝2
答案 A
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，
则倾斜角为，
依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为( )
A.150° B.135°
C.120° D.不存在
答案 A
解析 由y＝，得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示.
显然直线l的斜率存在，
设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，
则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2 ＝2 ，
所以S△AOB＝××2
≤＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，
由图可得k＝－，
故直线l的倾斜角为150°.
4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A.k1α3，所以00，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为 .
答案
解析 ∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，
∴a＋bm＋c－3＝0.
又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，
∴＝3，解得m＝0.∴a＋c＝3.
则＋＝(a＋c)
＝≥＝，
当且仅当c＝2a＝2时取等号.
三、解答题
15.过点P(3,0)作一条直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰好被点P平分，求此直线的方程.
解 设点A(x，y)在l1上，点B(xB，yB)在l2上.
由题意知
则点B(6－x，－y)，
解方程组得
则所求直线的斜率k＝＝8，
故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，
故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1).
(2)解 直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，则
故k的取值范围是k≥0.
(3)解 依题意，直线l在x轴上的截距为－，
在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，
所以A，B(0,1＋2k)，
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.