2018届二轮复习函数的单调性和奇偶性课件（全国通用） 20页

第三章　函 数 第 2 节 函数的单调性和奇偶性 1 . 函数的奇偶性的定义 : 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x , (1) 都有 f ( -x )= -f ( x ), 那么称函数 f ( x ) 为 奇 函数 ; (2) 都有 f ( -x )= f ( x ), 那么称函数 f ( x ) 为 偶 函数 . 2 . 函数单调性的定义 : 如果函数 f ( x ) 对区间 D 内的任意 x 1 , x 2 , 当 x 1 < x 2 时 , (1) 都有 f ( x 1 )< f ( x 2 ), 则称 f ( x ) 是区间 D 上的增函数 ; (2) 都有 f ( x 1 )> f ( x 2 ), 则称 f ( x ) 是区间 D 上的减函数 . 3 . 函数的奇偶性的性质 : (1) 奇、偶函数的定义域关于 原点 对称 ; (2) 若奇函数的定义域包含数 0, 则 f (0) = 0 ; (3) 奇函数的图象关于 原点 对称 ; (4) 偶函数的图象关于 y 轴 对称 . 4 . 几个常用的奇、偶函数 : 5 . 帮助记忆口诀 : 奇函数 × 奇函数⇒偶函数 偶函数 × 偶函数⇒偶函数 奇函数 × 偶函数⇒奇函数 奇函数 + 奇函数⇒奇函数 偶函数 + 偶函数⇒偶函数 奇函数 + 偶函数⇒非奇非偶函数 【 例 1】 (2013 宁夏一模 ) 若奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 , 且 a + b >0, 则有 ( ) A. f ( a ) -f ( b )>0 B. f ( a )+ f ( b )<0 C. f ( a )+ f ( b )>0 D. f ( a ) -f ( b )<0 【 答案 】 C 【 解析 】 f ( x ) 为奇函数 , 所以有 f ( -x )= -f ( x ), 由 a + b >0 得到 a > -b , 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数 , 所以有 f ( a )> f ( -b ), 即 f ( a )> -f ( b ), 所以 f ( a )+ f ( b )>0 . 选 C . 【 答案 】 C 【 解析 】 f ( x )= -x 2 +1 定义域为 R, 且满足 f ( -x )= f ( x ) 是偶函数 , 而且图象开口向下 , 在 (0,+∞) 上单调递减 , 选 C . 【 答案 】 D 【 解析 】 因为 y = x 2 是偶函数 , y =sin x 是奇函数 , f ( x )= x 2 + sin x , 则 f ( -x )= x 2 - sin x ≠ -f ( x ), 而 f ( -x )= x 2 - sin x ≠ f ( x ) . 选 D . 【 例 4】 (2017 天津高考文 6) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 . 若 a = -f (log 2 ), b = f (log 2 4 . 1), c = f (2 0 . 8 ), 则 a , b , c 的大小关系为 ( ) A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. c < a < b 【答案】 C 【解析】 由题意知 a = f ( - log 2 )= f (log 2 5), 且log 2 5>log 2 4 . 1>2,1<2 0 . 8 <2,∴log 2 5>log 2 4 . 1>2 0 . 8 , 结合函数的单调性知 f (log 2 5)> f (log 2 4 . 1)> f (2 0 . 8 ),即 a > b > c. 2 . (2014 湖南 ) 下列函数中 , 既是偶函数又在区间 (-∞,0) 上单调递增的是 ( ) A. f ( x )= B. f ( x )= x 2 +1 C. f ( x )= x 3 D. f ( x )= 【答案】A 【解析】 因为 f ( x )= 和 f ( x )= x 2 +1都是偶函数,C选项中 f ( x )= x 3 为奇函数, D选项中 f ( x )=2 -x 既不是奇函数也不是偶函数,排除C、D . 但是 f ( x )= x 2 +1开口向上, 在( - ∞,0)上是减函数 . 选A . 3 . 若 f ( x ) =ax 2 + bx + c ( a ≠0) 是定义在 R 上的偶函数 , 则 b 的值为 ( ) A. - 1 B.0 C.1 D. 无法确定 【 答案 】B 【 解析 】 要 f ( x ) 为偶函数 , 则必须满足 f ( -x )= f ( x ), 即 a ( -x ) 2 + b ( -x )+ c = ax 2 + bx + c , 解得 b =0, 选 B . 4 . (2011 全国新课标 (Ⅰ)) 设函数 f ( x ), g ( x ) 的定义域为 R, 且 f ( x ) 是奇函数 , g ( x ) 是偶函数 , 则下列结论中正确的是 ( ) A. f ( x ) g ( x ) 是偶函数 B.| f ( x )| g ( x ) 是奇函数 C. f ( x )| g ( x )| 是奇函数 D.| f ( x ) g ( x )| 是奇函数 【 答案 】C 【 解析 】 令 M ( x ) =f ( x ) · | g ( x )|, 则 M ( -x )= f ( -x ) · | g ( -x )| =-f ( x ) · | g ( x )| = -M ( x ), 所以 M ( x ) =f ( x ) · | g ( x )| 为奇函数 , 选 C( 也可以用特值法验证 : 例如设 f ( x ) =x , g ( x ) =x 2 验算比较快 ) . 5 . (2015 珠海一中等六校二次联考 ) 下列函数中 , 既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的函数是 ( ) A. y=x 3 B. y= | x +1| C. y = -x 2 D. y= | x |+1 【 答案 】D 【 解析 】 A 、 B 、 C 、 D 四个答案中 , 只有 C 、 D 是偶函数 , 其中 y = -x 2 开口向下 , 是在 (0,+∞) 上单调递减的函数 , y= | x |+1 是在 (0,+∞) 上单调递增的函数 , 选 D . 7 . (2017 高考全国 Ⅱ 文数 14) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x ∈(-∞,0) 时 , f ( x ) = 2 x 3 + x 2 , 则 f (2)= . 【 答案 】 12 【 解析 】 f (2)= -f ( - 2)= - [2×( - 8)+4]=12 . 8 . 若函数 f ( x ) = ( m- 1) x 2 +( m- 2) x +( m 2 - 7 m +12) 为偶函数 , 则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 答案 】 B 【 解析 】 f ( x ) = ( m- 1) x 2 + ( m- 2) x+ ( m 2 - 7 m+ 12), 验算 : 当 m =2 时 , f ( x ) 变 为 : f ( x )= x 2 +2 为偶函数 . 选 B . ( 用第四题的解法也可以 ) 9 . 已知 f ( x ) 是奇函数 , g ( x )= f ( x )+4, g (1)=2, 则 g ( - 1) 的值是 . 【 答案 】6 【 解析 】 因为 f ( x ) 是奇函数 , g (1) =f (1)+4=2, 所以 f (1)= - 2, 所以 f ( - 1)=2, 而 g ( - 1)= f ( - 1)+4=2+4=6 . 10 . (2013 湖南高考 ) 已知 f ( x ) 是奇函数 , g ( x ) 是偶函数 , 且 f ( - 1)+ g (1) = 2, f (1)+ g ( - 1)=4, 则 g (1)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 11 . (2017 高考全国 Ⅰ 理数 5) 函数 f ( x ) 在 (-∞,+∞) 单调递减 , 且为奇函数 . 若 f (1)= - 1, 则满足 - 1≤ f ( x- 2)≤1 的 x 的取值范围是 ( ) A.[ - 2,2] B.[ - 1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【 答案 】 D 【 解析 】 因为 f ( x ) 为奇函数 , 且在 (-∞,+∞) 上单调递减 , 要使 - 1≤ f ( t )≤1 成立 , 即 f (1)≤ f ( t )≤ f ( - 1), 则 t 满足 - 1≤ t ≤1, 从而由 - 1≤ x- 2≤1 得 1≤ x ≤3, 即满足 - 1≤ f ( x- 2)≤1 成立的 x 的范围为 [1,3], 故选 D . 12 . (2017 高考全国 Ⅱ 文数 8) 函数 f ( x ) = ln( x 2 - 2 x- 8) 的单调递增区间是 ( ) A.( - ∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 【 答案 】 D 【 解析 】 要使函数有意义 , 则 x 2 - 2 x- 8>0, 解得 x < - 2 或 x >4, 结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则 , 可得原函数的单调增区间为 (4,+∞). 13 . (2017 天津理 6) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 , g ( x )= xf ( x ) . 若 a = g ( - log 2 5 . 1), b = g (2 0 . 8 ), c = g (3), 则 a , b , c 的大小关系为 ( ) A. a < b < c B. c < b < a C. b < a < c D. b < c < a 【 答案 】 C 【 解析 】 因为 f ( x ) 是奇函数且在 R 上是增函数 , 所以 x >0 时 , 有 f ( x )>0, 从而 g ( x )= xf ( x ) 是 R 上的偶函数 , 且在 (0,+∞) 上是增函数 , 所以 a = g ( - log 2 5 . 1)= g (log 2 5 . 1),2 0 . 8 <2, 又 4<5 . 1<8, 则 2