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- 2021-05-10 发布
四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
求解出集合，根据并集的定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.
2.的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
把变为，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果.
【详解】，故选A.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.
3.已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.
【详解】由题得，所以复数z的实部和虚部分别为7和-3.
故答案为：D
【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i”,不能写成bi.
4.设，向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：由向量，，且得，解得x＝2 ，所以，故选A．
考点：向量垂直的条件，向量模的计算．
点评：根据向量垂直则向量的数量积等于0，求出x的值，再利用向量的加法，求出向量的模．
5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】D
【解析】
【分析】
结合两图对每一个选项逐一分析得解.
【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中后占56%，占一半以上，所以该选项正确；
对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的，所以该选项正确；
对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，比前多，所以该选项正确.
对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数后不一定比后多.所以该选项不一定正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6.已知函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先计算出，再把的值带入计算即可。
【详解】根据题意得，所以，所以选择C
【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。
7.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合0,1进行a,b,c的大小比较，即可。
【详解】,,故,故选B.
【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等。
8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)，（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f(x)=（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由图知，得到A=2，，求出T，根据周期公式求出ω，又y= f(x)的图象经过，代入求出φ，从而得到解析式．
【详解】由图知，A=2，，又ω＞0，
∴T==，∴ω=4，
又y= f(x)的图象经过，
∴，k∈Z，
∴φ=2kπ+，k∈Z，
又|φ|＜π，∴φ=，
∴.
故选：A．
【点睛】本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查识图能力与运算能力，属中档题．
9.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )
A. 是偶数?，? B. 是奇数?，?
C. 是偶数?， ? D. 是奇数?，?
【答案】D
【解析】
根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填，故选D.
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=1，=，若A=2B，则△ABC的周长为（ ）
A. 3 B. 4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈(0，π)，可求A，根据已知可求B，利用三角形内角和定理可求C，根据正弦定理可求a，c的值，即可得三角形的周长．
【详解】∵=，
∴由正弦定理可得=，整理可得b2+c2-a2=bc，
∴cosA===，
∵A∈(0，π)，∴A=，
∵A=2B，∴B=，C=π-A-B=，
∵b=1，∴，解得a=，c=2，
∴△ABC的周长为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属基础题．
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到，
在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解.
【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，
由，且为的中位线，可得，
即有，
在直角三角形中，可得，即有，
由双曲线的定义可得，可得，
所以，所以，故选A.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
12.已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解， 由可得结果.
详解：
由，可知函数的对称轴为，
由于函数是偶函数，,
所以函数是周期为的周期函数，
当时，，
函数在上递增，在上递减，
最大值，且，
由选项可知，解得或，
根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，
根据函数为偶函数，在上有个周期，且有个整数解，
也即每个周期内有个解，，
故，解得，故选D.
点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，从而得到，即，
所以，所以，所以切点坐标是，
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.
14.已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，则=______．
【答案】6
【解析】
分析】
作出不等式组对应的平面区域，根据目标函数的几何意义，利用平移法进行求解可得a的值，然后求解定积分即可．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直线y=2x-z，
由图象可知当直线y=2x-z经过点B时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大．
由，得，
即a=zmax=2×4-2=6，
则==6lnx=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想以及函数的积分公式是解决此类问题的基本方法，属中档题．
15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.
【详解】由三视图还原几何体如下图所示：
设中心为，正方形中心为，外接球球心为
则平面，平面，为中点
四边形为矩形
，
外接球的半径：
本题正确结果：
【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.
16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知，，则an=______，S100=______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{an}的通项公式；结合以上所求代入可得Sn=，然后利用错位相减可求Sn，进而可求S100．
【详解】由，，
可得=2，=2n，
∴=2，
，
…
，
以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，
∴=2n，∴an=；
Sn=，
∴=，
两式相减可得，=
==，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意仔细审题，认真计算，属中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用an与Sn的关系可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得bn=an+log2an=4n+2n，故利用分组求和法即可求出数列的和.
【详解】（1）因为数列{an}的前n项和，
当n≥2时，，
两式相减得，
当n=1时，，满足上式，
故；
（2）由（1）得bn=an+log2an=4n+2n，
所以==．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题．
18.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2200
【解析】
【分析】
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
【详解】解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，
年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为
1
2
3
所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
.
【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合．
19.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．
（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l；
（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量和直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面PCD
所成角的正弦值即可．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，AB平面PCD，CD⊂平面PCD．
∴AB∥平面PCD，
∵AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，
∴AB∥l；
（2）∵底面是菱形，E为BC的中点，且AB=2，
∴，
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
∴，，
设平面PCD的法向量为，有，，得，
设，则，
再设，
则，解之得，∴，
设直线AQ与平面PCD所成角为α，
则，
∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.
20.已知椭圆过点P（2，1）．
（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；
（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.
【详解】（1）由椭圆方程椭圆 过点P（2，1），可得．
所以，
所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，
（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：
设直线，，
设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），
由得，
∴，∴
同理，所以，
由，
有，
因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．
∴，
又，故，
所以直线与直线平行．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．
21.函数
(1)讨论函数在区间上的极值点的个数；
(2)已知对任意的恒成立，求实数k的最大值．
【答案】(1)见解析；(2)-1
【解析】
【分析】
（1）由题意，求得函数导数，分类讨论，得出函数的单调性，进而可求得函数的极值点的个数；
（2）设，先征得当时是成立的，再对时，总存在，作出证明，进而得到实数的最大值。
【详解】（1）
①当时，
，，
单调递增，在上无极值点
②当时
在上单调递减，，
存在使得，则为的极大值点；
在上单调递增，，
存在使得，则为极小值点；
在上存在两个极值点
③当时
在上单调递增，，
存在使得，则为的极小值点；
在上单调递减，，
存在使得，则为的极大值点；
在上存在两个极值点
综上所述：当时，在上无极值点；当或时，在上有两个极值点。
（2）设（）
①先证明时成立，证明过程如下：
，
，
，
，，
在上单调递增，
在上单调递增，
即对任意的，恒成立
②下证对，总存在， ，
，
，
，
当时，，
（i）当时，
（ii）当时，，
综（i）（ii）可知，当时，
在上单调递增
，
使得
时
在上单调递减
时
即存在，综上所述，的最大值为
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若，是曲线上两点，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点可求得，整理可得所求的极坐标方程；（2）将代入方程，从而将代入整理可得结果.
【详解】（1）将的参数方程化为普通方程得：
由，得的极坐标方程为：
将点代入中得：，解得：
代入的极坐标方程整理可得：
的极坐标方程为：
（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：
，
【点睛】本题考查极坐标方程求解、极坐标中的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的变为，从而使问题得以求解.