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- 2021-05-10 发布
平罗中学2019——2020学年度第二学期高二年级学生复学学业成绩检测高二数学（文）试卷
一、选择题（（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.
【详解】复数i(2+i)=2i﹣1，故复数对应的点的坐标为(﹣1，2)，
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.
2.已知复数，则（ ）
A. B. 的实部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
【答案】C
【解析】
分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.
详解：由复数的运算法则可得：，
则，选项A错误；
的实部为，选项B错误；
的虚部为，选项C正确；
的共轭复数为，选项D错误.
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的方程，可得，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解
【详解】由双曲线的方程，可得双曲线的焦点在轴上，且，
所以双曲线的渐近线方程为，即，故选A.
【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4.椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，则的周长为（ ）
A. 20 B. 18 C. 16 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件可以求出椭圆中的，周长等于，进而计算可得答案.
【详解】由题意作图如下：
因为椭圆的标准方程为，
则的周长
故选：
【点睛】本题主要考查了运用椭圆的定义求三角形周长问题，需要熟记定义并能灵活运用，本题属于基础题.
5.准线方程为的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出的值即可得到抛物线的标准方程.
【详解】因为准线方程为，所以设抛物线方程为，
又因为准线方程，所以，
所以抛物线标准方程为：.
故选：A.
【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中的值即可得到标准方程.
6.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为(-,0),(,0),则双曲线方程为( )
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【答案】C
【解析】
【分析】
设双曲线的方程为，即，又因为焦点坐标为(-,0),(,0)，故，解出，代入可得答案
【详解】双曲线渐近线方程为,
设双曲线的方程为，即
焦点坐标为(-,0),(,0)
故，解出，
故双曲线的方程为
故选
【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，由已知条件代入解出结果即可，较为基础．
7.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线被椭圆所截得的线段，，，，利用点差法可求直线的斜率.
【详解】解：设直线被椭圆所截得的线段，，，，
因为线段中点为，，
，
，
，
，即直线的斜率是．
故选：．
【点睛】本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题．
8.若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：由题意可得： .
本题选择C选项.
9.已知，，则“”是“表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．
【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．
【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．
10.下面给出了关于复数的四种类比推理，其中类比正确的是（ ）
A. “为实数，若，则”类比得到“为复数，若，则”
B. 由向量的性质，类比得到复数的性质
C. 复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则
D. “为实数，若，则”类比得到“为复数，若，则”
【答案】C
【解析】
【分析】
对个结论逐一进行分析即可解答.
【详解】对于A，“为复数，当，时，，但是两个虚数，
不能比较大小，故A错误；
对于B，由向量的性质，类比得到复数的性质，不正确，
比如，故B错误；
对于C，复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则，正确；
对于D，若，则”，不正确，比如，，故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查了类比推理，同时考查了复数中运算性质，属于基础题.
11.在复平面内复数（是虚数单位，是实数）表示的点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
化简得到，根据题意得到，解得答案.
【详解】，表示的点在第四象限，故，解得.
故选：.
【点睛】本题考查了根据复数的对应点象限求参数，意在考查学生对于复数基本知识的理解.
12.已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，则 的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义确定点的纵坐标，由方程确定点的坐标，最后根据三角形面积公式，即可得出答案.
【详解】由，可得，焦点
因点到焦点的距离为，故点的纵坐标为
可知点的坐标为或
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第 个图形中小正方形的个数是___________.
【答案】
【解析】
根据图像得到当 时，个数为 ，当 时，个数为
当时，个数为 .当 时，个数为
综上归类为.
故答案为.
14.已知椭圆的焦点轴上，且焦距为4，则m =_______.
【答案】13
【解析】
【分析】
利用椭圆的简单性质直接求解．
【详解】∵椭圆的长轴在x轴上，∴ 解得11＜m＜20，∵焦距为4，∴c2=m-2-20+m=4，解得m=13．故答案为13.
【点睛】本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.
15.抛物线上一点到其焦点的距离为6，则点M到y轴的距离为________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点M到y轴的距离.
【详解】抛物线，
所以准线方程为，
根据抛物线定义，点到其焦点的距离为6，则点到其准线距离也为6，
即，可得，
所以点M到y轴的距离为4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了抛物线定义及抛物线方程的简单应用，属于基础题.
16.已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.
【详解】如图,因为为正三角形，所以，
所以直角三角形.
因为，，所以,.
因为，所以
即，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.
三、解答题
17.已知等差数列{an}满足：a3=7，a5＋a7=26，{an}的前n项和为Sn..
（1）求an及Sn；
（2）令 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn..
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知等量关系可求出等差数列的首项与公差，进而可求等差数列的通项公式与前项和公式；
（2）将等差数列通项公式代入已知的等式中得出数列的通项公式，可用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】（1）在等差数列中
∵，
∴，
解得，
∴，
；
（2）由（1）得，
∴
【点睛】本题考查给出等差数列等量关系，求等差数列通项公式和前项和公式，同时也考查了用裂项相消法求与等差数列相关的数列的前项和，考查运算求解能力，是基础题.
18.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；
(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.
【详解】(1)∵,且，
∴，
由正弦定理得，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
由余弦定理得，
∴.
【点睛】本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.
19.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：
（1）PA//平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接，构造三角形，利用三角形中位线定理证明线线平行，再证明线面平行；
（2）可通过证明平面，得出，最后可证明平面.
【详解】（1）如图，连接，且，连接，
则在正方形中，为中点，
且在中，为中点，
∴，
且平面，平面，
∴，平面；
（2）在中，，为中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴，
且在正方形中，，平面，平面，
∴平面，
且平面，
∴，又，，所以平面，
所以，且，，平面，平面，
∴平面.
【点睛】本题考查线面平行判定，线面垂直判定，考查直观想象能力和推理论证能力，是中档题.
20.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图.
（1）计算甲班的样本方差；
（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.
【答案】（1）57.2（2）
【解析】
【分析】
（1）先求均值，再根据方差公式求结果；
（2）身高不低于173cm的同学有5名，先求从这5名同学中抽取两名同学总事件数，再确定身高为176cm的同学被抽中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
【详解】（1）
所以；
（2）身高不低于173cm的同学有5名，从高到低依次记为A,B,C,D,E；从这5名同学中抽取两名共有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BD,CD,CE,DE这10个基本事件，其中身高为176cm的同学被抽中的事件有AD,BD,CD,ED这4个基本事件，所以所求概率为
【点睛】本题考查方差以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
21.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.
【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则
椭圆的方程为：
（Ⅱ）设，
联立得：
，解得：
，
又点到直线的距离为：
，解得：
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.
四、选做题.（本小题满分10分.请考生在22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.）
选修4—5；不等式选讲
22.已知函数
（1）当时，求的解集；
（2）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
分析：（1）根据绝对值的定义，分类去掉绝对值符号，然后解相应的不等式，最后再求并集；
（2）恒成立，只要求得的最小值，然后解相应不等式可得．
详解： (1) ；(2) .
(1)由题设知: ，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
，或，或，
解得函数的定义域为；
(2)不等式即，
时，恒有，
不等式解集是R，
，m的取值范围是．
点睛：解含绝对值的不等式，一般都是由绝对值的定义进行分类去掉绝对值符号，分类求解后再求并集，有时也可根据绝对值的性质直接去绝对值符号：如等等．
选修4-4：坐标系与参数方程
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．
【答案】（1），（2）0
【解析】
试题分析：（1）由参数方程消去参数得，曲线的普通方程；在由极坐标方程化为直角坐标方程时
，可得曲线的直角坐标方程
（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式，可得的最小值
试题解析：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得．
由得，曲线的直角坐标方程为
．
（2）设，则点到曲线的距离为
当时，有最小值0，所以的最小值为0
考点：把参数方程，极坐标方程化为直角坐标系的方程；点到直线的距离公式．