九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质习题课件新版北师大版 15页

7 　 相似三角形的性质 1. 相似三角形中重要线段的比 : 相似三角形对应高的比、对应 角平分线的比、对应中线的比都等于 _______. 相似比 2. 相似三角形的周长比和面积比 : (1) 相似三角形的周长比等于 _______. (2) 已知 :△ABC∽△A′B′C′,△ABC 与△ A′B′C′ 的相似比 为 k. 若 CD,C′D′ 分别是 AB,A′B′ 边上的高 , 则 =k, ∴S △ABC = AB · CD,S △A′B′C′ = A′B′ · C′D′. ∴ =__. 相似三角形的面 积比等于 _____________. 相似比 k 2 相似比的平方 【 思维诊断 】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 两个相似三角形的相似比为 3, 则它们的面积比为 6.( ) 2. 如果把一个多边形的各边都扩大 5 倍 , 则这个多边形的面积扩 大 25 倍 . 　 ( ) 3.△ABC 与△ DEF 的相似比为 2∶3, 则△ DEF 与△ ABC 的周长之比 为 4∶9. 　 ( ) 4.△ABC∽△A′B′C′, 它们的相似比为 2, 则△ A′B′C′ 与 △ ABC 的面积比为 2. 　 ( ) × √ × × 知识点一 相似三角形的重要线段和角 【 示范题 1】 一块直角三角形木板的一条 直角边 AB=3m,BC=4m, 工人师傅要把它加 工成一个面积最大的正方形桌面 , 现请甲乙两位同学设计加工方案 , 甲设计的方案如图 1, 乙设计的方案如图 2. 你认为哪位同学设计的方案较好 ? 试说明理由 . 【 思路点拨 】 分别表示出两种图形中正方形的面积 , 先求出两种情况下正方形的边长 , 然后求出面积比较大小 . 【 自主解答 】 按图 1 设计 , 设正方形的边长为 x, 因为 DE∥AB, 所以∠ CDE=∠CBA,∠CED=∠CAB, 所以△ CDE∽△CBA, 所以 按图 2 设计 , 如图所示 , 过点 B 作斜边 AC 边上的高 BH, 垂足为 H, 交 DE 于 P, 因为 AB · BC=AC · BH, 解得 BH=2.4, 设正方形的边长为 y, 因为 DE∥AC, 所以∠ BDE=∠A,∠BED=∠C, 所以△ BDE∽△BAC, 所以 即 因为 x>y, 所以 x 2 >y 2 , 所以甲同学设计的方案较好 . 【 想一想 】 在本例中 , 求解两种方案中正方形的边长时 , 都运用了什么知识 ? 提示 : 都运用了相似三角形的性质 . 【 微点拨 】 运用相似三角形对应边上高的比的两点注意 1. 图形 : 相似三角形对应边上高的比常见图形 如下 , 即三角形中存在一个矩形 . 2. 方法 : 习惯上 , 利用相似三角形对应边上高的 比等于相似比列方程求解 . 【 方法一点通 】 相似三角形性质的 “ 四种作用 ” (1) 求解线段的长度和角的度数 . (2) 计算三角形的周长及面积 . (3) 证明线段的比例关系、角相等 . (4) 计算线段的比及线段的平方比 . 知识点二 相似三角形的周长与面积 【 示范题 2】 (2013 · 无锡中考 ) 如图 , 梯形 ABCD 中 ,AD∥BC, 对角线 AC,BD 相交于 O,AD=1, BC=4, 则△ AOD 与△ BOC 的面积比等于 ( 　　 ) 【 教你解题 】 【 想一想 】 示范题 2 中△ AOB 和△ DOC 有什么关系 ? 提示 : △AOB 和△ DOC 面积相等 . 【 方法一点通 】 相似图形的周长与面积的计算 1. 常见图形结构 : “ A ” 型图与 “ X ” 型图 , 应用平行线构造相似三角形 , 常与平行四边形联系在一起 . 2. 解题关键 : 一是准确把握相似三角形的周长的比与面积的比和相似比的关系 ; 二是掌握同底等高或等底同高的三角形面积之间的相等关系 .