【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 18页

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、如下图,已知是圆的两条弦,过作圆的切线与的延长线相交于.过点作的平行线与相交于点,,,则的长为（ ）‎ A． B． C． D． 2、如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C。∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为 .‎ ‎ 3、如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.‎ ‎（1）证明：△ABE∽△ADC；‎ ‎（2）若的面积，求的大小.‎ ‎4、如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点是的切线交于点，且．‎ ‎（1）若为的中点，，求的长；‎ ‎（2）求．‎ ‎5、如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点 是的切线交于点，且．‎ ‎（1）若为的中点，，求的长；‎ ‎（2）求．‎ ‎6、如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点．‎ ‎（1）求证：是圆的切线；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎7、如图，在⊙的直径的延长线上取点，作⊙的切线，为切点，在上找一点，使，连接并延长交⊙于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若⊙的半径为，，求的长.‎ ‎8、如图,圆的半径垂直于直径为上一点,的延长线交圆于,过点的切线交的延长线于.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆的半径为,求的长.‎ ‎9、如图,圆与圆相交于、两点,是圆的直径,过点作圆的切线交圆于点,‎ 并与的延长线交于分别与圆、圆交于两点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎10、如图是⊙的内接三角形，是⊙的切线，切点为，交于点，交⊙于点，，，，．‎ ‎（Ⅰ）求△的面积；‎ ‎（Ⅱ）求弦的长．‎ ‎11、如图,是的直径,是上的点,是的平分线,过点作,交的延长线于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点作,垂足为,求证：.‎ ‎12、如图，已知是以为直径的⊙的一条弦，点是劣弧上的一点，过点作于，交于，延长线交⊙于.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）延长到，使，求证：.‎ ‎13、如下图所示，设为圆外的点，过点作圆的切线，切点为，过点作圆的割线，与圆交于两点，，垂足为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）已知圆的半径为，，，求四边形的面积．‎ ‎14、如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且，若PA=2PB=10.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC=2AB；‎ ‎（Ⅱ）求AD？DE的值.‎ ‎15、如图，是的直径，是弦，的平分线交于点，，交的延长线于点，交于点．‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎16、如图，与相交于两点，是的直径，过点作的切线交于点，并与的延长线交于点，分别与，交于两点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎17、如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，，且，求．‎ ‎18、如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是圆的直径，，求的长.‎ ‎19、如图,是的内接三角形，是的切线，是线段上一点,经过作的平行直线与交于点，与交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若,求的面积.‎ ‎20、如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于，．‎ ‎（1）若是的直径，求的大小；‎ ‎（2）若，求证：．‎ 参考答案 ‎1、答案：C 由有,设，则，由有，易证,则,所以,选C．‎ ‎【考点】1.切割线定理；2.相似三角形．‎ ‎2、答案：‎ 连,则,所以；又因为平分,所以,在中, ,即,也即,所以,应填.‎ ‎【考点】圆中的有关定理及运用．‎ ‎3、答案：（1）详见解析；（2）∠BAC＝90°‎ 试题分析：（1）由已知条件并结合同弧所对的圆周角相等可得出∠BAE＝∠CAD和∠AEB＝∠ACD，进而得出所证的结果；（2）由（1）知△ABE∽△ADC，由相似三角形的性质可得对应线段成比例，再由的面积可得sin∠BAC的值，进而得出所求的大小.‎ 试题（1）证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角.‎ 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.‎ ‎（2）解因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，‎ 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.‎ ‎【考点】1.相似三角形;2.圆 4、答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）因为为的中点，所以，由割线定理知，得出，在利用是的平分线，即可得到的长；（2）因为是圆的切线，为切点，为圆的割线，由切割线定理知，，再利用，即可得到．‎ 试题（1）因为为的中点，所以．‎ 由割线定理知，，所以，‎ 可得 又因为是的平分线，‎ 所以 ‎（2）因为是圆的切线，为切点，为圆的割线，‎ 由切割线定理知，，‎ 因为，所以，即，‎ 由，所以 ‎【考点】相似三角形和与圆有关的比例线段． 5、答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）因为为的中点，所以，由割线定理知，得出，在利用是的平分线，即可得到的长；（2）因为是圆的切线，为切点，为圆的割线，由切割线定理知，，再利用，即可得到．‎ 试题（1）因为为的中点，所以．‎ 由割线定理知，，所以，‎ 可得．‎ 又因为是的平分线，‎ 所以．‎ ‎（2）因为是圆的切线，为切点，为圆的割线，由切割线定理知，，因为，所以，即，‎ 由，所以 ‎【考点】相似三角形和与圆有关的比例线段． 6、答案：试题分析：（1）由点是中点，点是中点，‎ 是圆的切线；（2）延长交圆于点，由（1）知是圆的切线，而是圆的割线．‎ 试题（1）连结，点是中点，点是中点，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ 在和中，，，‎ ‎，即．‎ 是圆上一点，是圆的切线 ‎（2）延长交圆于点，，由（1）知是圆的切线，而是圆的割线，‎ ‎，‎ 由（1）知，，‎ 点是的中点，．‎ ‎【考点】1、三角形的全等；2、切割线定理；3、切线的定义． 7、答案：（1）证明见解析；（2）2.‎ 试题分析：（1）要证，可先证,由已知，，，再利用可得结论；（2）由，利用勾股定理可求得，从而得 ‎，在直角三角形中得，最后由相交弦定理可得．‎ 试题（1）证明：连接，则，且为等腰三角形，则，‎ ‎∵,∴,∵,∴，∴.‎ ‎（2）在中，由于，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，从而，‎ ‎∴，‎ 由相交弦定理可得，又，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】直角三角形的判定，相交弦定理． 8、答案：（1）证明见解析；（2）‎ 试题分析：（1）连接，构造直角三角形，证明，从而，由切割线定理有；（2），由求得.‎ 试题 ‎（1）连结切圆于,于，.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【考点】几何证明选讲． 9、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ 试题分析：（1）由切割线定理及其推论，有，，故；（2）连接，由（1）知，，是的直径，故.‎ 试题 ‎（1）分别是的割线,①又分别是的切线与割线,②由①,②得.‎ ‎（2）连接是的直径,,由（1）知，.‎ 是的直径,.‎ ‎【考点】几何证明选讲． 10、答案：（I）；（II）．‎ 试题分析：（I）根据圆的切线割线的性质知，弧所对圆周角与相等，从而，再有切割线定理求得，从而求直角三角形的面积；（II）在直角三角形中求，再有相交弦性质得：，求，从而．‎ 试题（I）因为是⊙O的切线，切点为，所以，又，所以，．‎ 因为，，所以由切割线定理有，所以，所以△的面积为．‎ ‎（II）在△中，由勾股定理得，又，，‎ 所以由相交弦定理得，所以，故．‎ ‎【考点】1、圆的切线的性质；2、相交弦的性质． 11、答案：试题分析：（1）借助题设条件运用切割线定理推证；（2）借助题设条件运用相似三角形的性质推证.‎ 试题 ‎（1）连接是的平分线,‎ ‎.是圆的切线,由切割线定理得.‎ ‎（2）平分.由（1）知,又为直角三角形,且,即.‎ ‎【考点】圆幂定理等有关知识的综合运用． 12、答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ 试题分析：（1）由射影定理可得，易证，利用相似比，可得故，所以；（2）连结，利用等腰三角形和直角，证明，由切割线定理，有，由于，所以.‎ 试题 ‎（1）解法一：连结、.‎ ‎∵，∴弧=弧，∴‎ 在与中，，，‎ ‎∴∽，∴，∴.‎ 解法二：由射影定理可得，易证∽，‎ 可得，故，∴‎ ‎（2）连结.∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵在中，，∴，‎ ‎∵，∴，∴，即，‎ ‎∴为⊙的切线，，‎ ‎∵，∴.‎ ‎【考点】几何证明选讲． 13、答案：（1）证明见解析；（2）‎ 试题分析：（1）利用“边角边”证明相似；（2）由（1）中的相似,转化为求的面积,用正弦定理求的面积.‎ 试题（1）证明：在直角中，由射影定理知：‎ ‎，又根据切割线定理知：‎ 从而，即，结合知 ‎（2）由勾股定理，由切线长定理知：，‎ 在中 所以 由，相似比为，面积比为 从而四边形的面积 ‎【考点】1.勾股定理；2.切割线定理；3.相似三角形的证明. 14、答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用相似三角形的性质推证；（Ⅱ）借助题设条件运用圆幂定理求解.‎ 试题 ‎（Ⅰ）∵PA是圆O的切线∴又是公共角 ‎∴∽‎ ‎∴∴‎ ‎（Ⅱ）由切割线定理得：∴‎ 又PB=5∴‎ 又∵‎ ‎∴∴‎ 又由相交弦定理得：‎ ‎【考点】相似三角形的性质及切割线定理相交弦定理等有关知识的综合运用． 15、答案：（1）证明见解析；（2）‎ 试题分析：（1）连结，由圆的性质得，又，得，由此能证明是的切线；（2）过作于，则有，设，则，，有已知得，，由此求出的值．‎ 试题（1）证明：连结，可得∴，又 ‎∴，又为半径 ‎∴是的切线 ‎（2）过作于，‎ 则有，‎ 设，则，∴，‎ 由可得 又由，可得，∴‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明． 16、答案：试题分析：（1）根据切割得，，再利用比例性质得，则；（2）连结，，是的直径，∴，再利用及，则据垂径理得然后利心角、弧、弦的即可得到．‎ 试题（1）∵分别是的割线，‎ ‎∴，‎ 又∵分别是的切线和割线，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）连结，‎ ‎∵是的直径，∴，‎ ‎∴是的切线，‎ 由（1）知，∴，‎ ‎∴，,‎ 又∵是的切线，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎（或，∵是的直径，由垂径定理得，,∴.）‎ 考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质. 17、答案：4‎ 试题分析：求线段长，一般利用切割线定理及相交弦定理进行求解：由切割线定理有，易得为等边三角形，从而可得的值，最后由相交弦定理有：，得．‎ 试题解：弦切角又，‎ 所以为等边三角形，由切割线定理有，‎ 所以，，，‎ 由相交弦定理有：，．‎ 考点：切割线定理及相交弦定理 ‎【名师名师点评】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2.应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 18、答案：（1）证明见解析；（2）2.‎ 试题分析：（1）要证两直线平行可证同位角相等或内错角相等，图中是弦切角，是圆周角，利用是角平分线，易证这两个内错角相等，从而两直线平行；（2）观察已知两线段所在三角形，可得它们相似，从而可求得，这样四边形中的角就可求得，从而可得的长．‎ 试题（1）∵是圆周角的角平分线，∴.‎ 又∵是圆的切线，∴，∴.‎ 又∵，∴‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ ‎∵是圆的直径，∴，∴，‎ ‎∴～，∴.‎ ‎∵，由（1）知，，∴，∴，‎ ‎∴，则，∴.‎ ‎∴在中，，∴，∴，‎ ‎∴在中，，所以.‎ 考点：弦切角与圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形． 19、答案：(1)证明见解析；(2).‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用相似三角形的性质和圆幂定理推证；(2)借助题设条件运用圆幂定理和正弦定理求解.‎ 试题 ‎（1）是的内接三角形，是的切线，为切点.是弦切角.‎ ‎,由已知得..又.‎ ‎（2）延长与交于,连接,则是的直径,且是的切线,点为切点,,在中,.‎ 根据已知和得.又.的直径为的面积为.‎ 考点：圆幂定理等有关知识的综合运用． 20、答案：(1)；(2)证明见解析.‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用圆内接四边形的性质求解；(2)借助题设条件运用相似三角形和圆幂定理推证.‎ 试题 ‎（1）解：∵与圆相切于点，又是圆的直径，‎ ‎∴，∵四边形内接于圆，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）证明：∵，∴，‎ ‎∴，∴，，∴，‎ ‎∴，，∴‎ 考点：相似三角形和圆幂定理等有关知识的综合运用． ‎