高考数学复习课时冲关练(十二) 4_2 8页

‎ ‎ 课时冲关练(十二)‎ 数列的通项与求和 ‎(45分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2014·茂名模拟)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=‎ ‎　(　　)‎ A.3×44 B.3×44+1‎ C.44 D.44+1‎ ‎【解析】选A.因为an+1=3Sn,所以an=3Sn-1(n≥2),‎ 两式相减得:an+1-an=3an,‎ 即=4(n≥2),‎ 所以数列a2,a3,a4,…构成以a2=3S1=‎3a1=3为首项,公比为4的等比数列,‎ 所以a6=a2·44=3×44.‎ ‎【误区警示】本题易误以为数列是等比数列而致误.‎ ‎2.在等比数列{an}中,a1+an=34,a2·an-1=64,且前n项和Sn=62,则项数n等于 ‎　(　　)‎ A.4 B‎.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎【解析】选B.在等比数列中,a2an-1=a1an=64,‎ 又a1+an=34,解得a1=2,an=32或a1=32,an=2.‎ 当a1=2,an=32时,‎ Sn===62,‎ 解得q=2,‎ 又an=a1qn-1,‎ 所以2×2n-1=2n=32,‎ 解得n=5.‎ 同理当a1=32,an=2时,‎ 解得n=5.‎ 综上项数n等于5.‎ ‎3.(2014·潮州模拟)如果数列{an}的前n项和Sn=an-3,那么这个数列的通项公式是　(　　)‎ A.an=2(n2+n+1) B.an=3·2n C.an=3n+1 D.an=2·3n ‎【解析】选D.因为Sn=an-3,‎ 则Sn-1=an-1-3(n≥2),‎ 所以Sn-Sn-1=an=an-an-1,‎ 即an=3an-1(n≥2).‎ a1=S1=a1-3,解得:a1=6,‎ 故{an}是以6为首项,公比为3的等比数列,‎ 所以an=6×3n-1=2·3n.故选D.‎ ‎4.(2014·济南模拟)已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n),则a1+a2+a3+…+a100=‎ ‎　(　　)‎ A.0 B‎.100 ‎ C.5050 D.10200‎ ‎【解题提示】把n的取值代入f(n)表示出数列的项重新组合,找出规律求解.‎ ‎【解析】选C.‎ a1+a2+a3+…+a100=-12+22-32+42-…-992+1002‎ ‎=(22-12)+(42-32)+…+(1002-992)=3+7+…+199==5050.‎ ‎5.已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn和Tn,若=,则的值是　(　　)‎ A. B‎.2 ‎ C. D.无法确定 ‎【解析】选B.等差数列的前n项和Sn=an2+bn,‎ 故可设Sn=(2n+2)·kn,Tn=(n+3)·kn,‎ a10=S10-S9,‎ 所以a10=S10-S9=40k,b9=T9-T8=20k,‎ 所以=2.‎ ‎【误区警示】忽略等差数列前n项和公式的函数特点,如只根据比例的性质,设Sn=k(2n+2),Tn=k(n+3),或者有同学审题出问题,没有注意下标的不同皆会导致错解.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2014·揭阳模拟)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列,则a1+a4+a7+…+a3n-2=　　　　.‎ ‎【解题提示】设出公差d,利用a1,a11,a13成等比数列,求得d,可得通项公式,{a3n-2}构成新的等差数列,确定新数列的公差与项数,然后利用公式求和.‎ ‎【解析】设{an}的公差为d.‎ 由题意,=a‎1a13,‎ 即(a1+10d)2=a1(a1+12d).‎ 于是d(‎2a1+25d)=0.‎ 又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.‎ 故an=-2n+27,a3n-2=-6n+31.‎ 令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2‎ ‎=‎ ‎=(-6n+56)=-3n2+28n.‎ 答案:-3n2+28n ‎7.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为‎10cm,最下面的三节长度之和为‎114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=　______.‎ ‎【解析】设对应的数列为{an},公差为d(d>0),‎ 由题意知a1=10,an+an-1+an-2=114,‎ ‎=a1an,‎ 由an+an-1+an-2=114‎ 得3an-1=114,解得an-1=38,‎ 即(a1+5d)2=a1(an-1+d),‎ 即(10+5d)2=10(38+d),解得d=2(负值舍去),‎ 所以an-1=a1+(n-2)d=38,‎ 即10+2(n-2)=38,解得n=16.‎ 答案:16‎ ‎8.(2014·南昌模拟)已知分别以d1和d2为公差的等差数列{an}和{bn}满足a1=18,b14=36,ak=bk=0,且数列a1,a2,…,ak,bk+1,bk+2,…,b14,…(k<14)的前n项和Sn满足S14=2Sk,则an+bn=　　　　.‎ ‎【解析】由S14=2Sk,得Sk=S14-Sk,‎ 因为ak=bk=0,Sk=S14-Sk-1‎ 所以×k=×(14-k+1),‎ 则9k=18×(15-k),得k=10,‎ d1==-2,d2==9,‎ 则an=-2n+20,bn=9n-90,‎ 即有an+bn=7n-70.‎ 答案:7n-70‎ 三、解答题(9题12分,10～11题每题14分,共40分)‎ ‎9.(2014·韶关模拟)已知数列{an}满足:a1=20,a2=7,an+2-an=-2(n∈N*).‎ ‎(1)求a3,a4,并求数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记数列{an}的前2n项和为S2n,当S2n取最大值时,求n的值.‎ ‎【解题提示】该数列不是一个统一的等差数列,是分奇数项、偶数项两个不同的等差数列,所以要分类讨论;第(2)题求最值时可表示出S2n,利用二次函数的性质求解.也要注意其个性,自变量只能取非零自然数.‎ ‎【解析】(1)因为a1=20,a2=7,an+2-an=-2,‎ 所以a3=18,a4=5.‎ 由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分别是以-2为公差的等差数列,‎ 当n为奇数时,an=a1+×(-2)=21-n,‎ 当n为偶数时,an=a2+×(-2)=9-n,‎ 所以an=‎ ‎(2)S2n=a1+a2+…+a2n ‎=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+…+a2n)‎ ‎=na1+×(-2)+na2+×(-2)‎ ‎=-2n2+29n.‎ 结合二次函数的性质可知,当n=7时最大.‎ ‎10.(2014·中山模拟)数列{an}的前n项和为Sn,Sn+an=-n2-n+1(n∈N*).‎ 设bn=an+n,‎ ‎(1)证明:数列{bn}是等比数列.‎ ‎(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.‎ ‎(3)若cn=-an,P=.求不超过P的最大整数的值.‎ ‎【解析】(1)因为an+Sn=-n2-n+1,‎ 所以①当n=1时,‎2a1=-1,则a1=-,‎ ‎②当n≥2时,an-1+Sn-1=-(n-1)2-(n-1)+1,‎ 所以2an-an-1=-n-1,即2(an+n)=an-1+n-1,‎ 所以bn=bn-1(n≥2),而b1=a1+1=,‎ 所以数列{bn}是首项为,公比为的等比数列,‎ 所以bn=.‎ ‎(2)由(1)得nbn=,‎ 所以①Tn=++++…++‎ ‎②2Tn=1++++…++‎ ‎②-①得:Tn=1+++…+-‎ Tn=-=2-.‎ ‎(3)由(1)知an=-n,‎ 所以cn=n,‎ 所以=‎ ‎==1+-‎ ‎=1+=1+-,‎ 所以P=+++…‎ ‎++1+-=2014+1-=2015-,‎ 故不超过P的最大整数为2014.‎ ‎11.(2014·广东高考)设数列的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15.‎ ‎(1)求a1,a2,a3的值.‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【解题提示】(1)取n=1,n=2,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3.‎ ‎(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.‎ ‎【解析】(1)由已知得 解得a1=3,a2=5,a3=7.‎ ‎(2)猜测an=2n+1.‎ 由Sn=2nan+1-3n2-4n得 Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n≥2),‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,‎ 所以两式相减,‎ 整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,‎ an+1=an+,‎ 建立an与an+1的递推关系(n∈N*);‎ 因为当n=1时,a1=3,‎ 假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,‎ ak+1=ak+=(2k+1)+‎ ‎=2k+3=2(k+1)+1,‎ 对于n∈N*,有an=2n+1,‎ 数列{an}的通项公式为an=2n+1.‎ 关闭Word文档返回原板块