2018-2019学年福建省宁德市高一下学期期末数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年福建省宁德市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 得到倾斜角为.‎ ‎【详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.‎ ‎2．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则（ ）‎ 摄氏温度（）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎11‎ 用电量度数 ‎10‎ ‎7‎ ‎4‎ A．12.6 B．13.2 C．11.8 D．12.8‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算数据中心点，代入回归方程得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ，中心点为 ‎ 代入回归方程 ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键.‎ ‎3．若平面和直线，满足，，则与的位置关系一定是（ ）‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 ‎【答案】D ‎【解析】当时与相交，当时与异面.‎ ‎【详解】‎ 当时与相交，当时与异面.‎ 故答案为D ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的位置关系，属于基础题型.‎ ‎4．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为B ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5．圆被轴所截得的弦长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎，圆心为 ‎ 圆心到轴的距离 ‎ 弦长 ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6．在中，角、、所对的边分别为、、，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7．在正方体中，直线与直线所成角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线与直线所成角为，为等边三角形，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：连接 ‎ 易知：直线与直线所成角为 为等边三角形，夹角为 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎8．圆与圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相交 C．相切 D．内含 ‎【答案】B ‎【解析】计算圆心距，判断与半径和差的关系得到位置关系.‎ ‎【详解】‎ 圆心距 ‎ ‎ ‎ 相交 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系，判断圆心距与半径和差的关系是解题的关键.‎ ‎9．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选三，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）‎ A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 ‎【答案】A ‎【解析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.‎ ‎10．过点且与圆相切的直线方程为（ ）‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 当斜率不存在时：‎ 当斜率存在时：设 ‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.‎ ‎11．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体是一个刍甍.四边形为矩形，与都是等边三角形，，，则此“刍甍”的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别计算出每个面积，相加得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查了图像的表面积，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12．定义平面凸四边形为平面上没有内角度数大于的四边形，在平面凸四边形中，，，，，设，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先利用余弦定理计算，设，将表示为的函数，再求取值范围.‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中，利用正弦定理：‎ ‎ ‎ 当时，有最小值为 ‎ 当时，有最大值为 （不能取等号）‎ 的取值范围是 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用正余弦定理计算长度范围，将表示为的函数是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知直线：与直线：平行，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用直线平行公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ 直线：与直线：平行 ‎ ‎ 故答案为4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线平行的性质，属于基础题型.‎ ‎14．如图，为了测量树木的高度，在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，若米，则树高为______米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先计算，再计算 ‎【详解】‎ 在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为 则 ‎ 在中，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的应用，也可以用正余弦定理解答.‎ ‎15．在某校举行的歌手大赛中，7位评委为某同学打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26，先计算平均值，再计算方差.‎ ‎【详解】‎ 去掉分数后剩余数据为22,23,24,25,26‎ 平均值为： ‎ 方差为：‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎16．已知三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于，则其外接球的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先判断球心在上，再利用勾股定理得到半径，最后计算体积.‎ ‎【详解】‎ 三棱锥的底面是腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长都等于 ‎ 为中点，为外心，连接，‎ ‎ ‎ 平面 球心在上 设半径为 ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三棱锥外接球的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ 三、解答题 ‎17．在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求点的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）先计算，过点，得到答案.‎ ‎（2）联立直线方程：解得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由边上的高所在直线方程为得，‎ 则.‎ 又∵，∴直线的方程为，‎ 即（或）.‎ ‎（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.‎ 解得：，‎ 即点坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18．在四棱锥中，四边形是正方形，平面，且，点为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明得到平面.‎ ‎（2）先证明就是三棱锥的高，再利用体积公式得到三棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连结交于，连结.‎ ‎∵四边形是正方形，‎ 在中，为中点，‎ 又∵为中点 ∴.‎ 又∵平面，平面.‎ ‎∴平面.‎ ‎ （2）解：取中点，连结.‎ 则且.‎ ‎∵平面，∴平面， ‎ ‎∴就是三棱锥的高.‎ 在正方形中，.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用余弦定理得到答案.‎ ‎（2）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由得.‎ ‎∴.‎ 又∵，∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，则.‎ 把代入得即.‎ ‎∴，则.‎ ‎∴的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理，面积公式，周长，意在考查学生对于公式的灵活运用.‎ ‎20．据某市供电公司数据，2019年1月份市新能源汽车充电量约270万度，同比2018年增长，为了增强新能源汽车的推广运用，政府加大了充电桩等基础设施的投入.现为了了解该城市充电桩等基础设施的使用情况，随机选取了200个驾驶新能源汽车的司机进行问卷调查，根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中的值并估计样本数据的中位数；‎ ‎（2）已知满意度评分值在内的男女司机人数比为，从中随机抽取2人进行座谈，求2人均为女司机的概率.‎ ‎【答案】（1），中位数的估计值为75（2）‎ ‎【解析】（1）根据频率和为1计算，再判断中位数落在第三组内，再计算中位数.‎ ‎（2）该组男司机3人，女司机2人.记男司机为：，，，女司机为：，.排列出所有可能，计算满足条件的个数，相除得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据频率和为1得.‎ 则.‎ 第一组和第二组的频率和为，则中位数落在第三组内.‎ 由于第三组的频率为0.4，所以中位数的估计值为75.‎ ‎（2） 设事件：随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机.‎ 的人数为人.‎ ‎∴该组男司机3人，女司机2人.‎ 记男司机为：，，，女司机为：，.‎ ‎5人抽取2人进行座谈有：，，，，，，，，，共10个基本事件.‎ 其中2人均为女司机的基本事件为.‎ ‎∴.‎ ‎∴随机抽取2人进行座谈，2人均为女司机的概率是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了中位数和概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21．如图1，在中，，，，分别是，，中点，，.现将沿折起，如图2所示，使二面角为，是的中点.‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明面得到面面.‎ ‎（2）先判断为直线与平面所成的角，再计算其正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：法一：由已知得：且，，∴面.‎ ‎∵，∴面.‎ ‎∵面，∴，又∵，∴，‎ ‎∵，，∴面.‎ 面，∴.‎ 又∵且是中点，∴，∴，∴面.‎ ‎∵面，∴面面.‎ 法二：同法一得面.‎ 又∵，面，面，∴面.‎ 同理面，，面，面.‎ ‎∴面面.‎ ‎∴面，面，∴.‎ 又∵且是中点，∴，∴，∴面.‎ ‎∵面，∴面面.‎ ‎（2）由（1）知面，∴为直线在平面上的射影.‎ ‎∴为直线与平面所成的角，‎ ‎∵且，∴二面角的平面角是.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 又∵面，∴.在中，.‎ 在中，.‎ ‎∴在中，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎22．已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.‎ ‎（1）求斜率的取值范围；‎ ‎（2）为坐标原点，求证：直线与的斜率之和为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）根据圆心到直线的距离小于半径得到答案.‎ ‎（2）联立直线与圆方程：.韦达定理得计算，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线的方程为：即.‎ 由得圆心，半径.‎ 直线与圆相交得，即.‎ 解得.所以斜率的取值范围为.‎ ‎（2）联立直线与圆方程：.‎ 消去整理得.‎ 设，，根据韦达定理得.‎ 则 ‎.‎ ‎∴直线与的斜率之和为定值1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率的取值范围，圆锥曲线的定值问题，意在考查学生的计算能力.‎