2019届二轮复习第3讲　数列的综合问题课件（53张）（全国通用） 53页

第 3 讲　数列的综合问题 专题二　数　列 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式 . 2 . 以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围 . 3 . 将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 数列 { a n } 中， a n 与 S n 的关系 热点一 　 利用 S n ， a n 的关系式求 a n 2. 求数列通项的常用方法 (1) 公式法：利用等差 ( 比 ) 数列求通项公式 . (2) 在已知数列 { a n } 中，满足 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，且 f (1) ＋ f (2) ＋ … ＋ f ( n ) 可求，则可用累加法求数列的通项 a n . (3) 在已知数列 { a n } 中， 满足 ＝ f ( n ) ，且 f (1)· f (2)· … · f ( n ) 可求，则可用累乘法求数列的通项 a n . (4) 将递推关系进行变换，转化为常见数列 ( 等差、等比数列 ). 解答 例 1 　已知等差数列 { a n } 中， a 2 ＝ 2 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 8 ，数列 { b n } 中， b 1 ＝ 2 ，其前 n 项和 S n 满足： b n ＋ 1 ＝ S n ＋ 2( n ∈ N * ). (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解　 ∵ a 2 ＝ 2 ， a 3 ＋ a 5 ＝ 8 ， ∴ 2 ＋ d ＋ 2 ＋ 3 d ＝ 8 ， ∴ d ＝ 1 ， ∴ a n ＝ n ( n ∈ N * ). ∵ b n ＋ 1 ＝ S n ＋ 2( n ∈ N * ) ， ① ∴ b n ＝ S n － 1 ＋ 2( n ∈ N * ， n ≥ 2 ). ② 由 ① － ② ，得 b n ＋ 1 － b n ＝ S n － S n － 1 ＝ b n ( n ∈ N * ， n ≥ 2) ， ∴ b n ＋ 1 ＝ 2 b n ( n ∈ N * ， n ≥ 2). ∵ b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 2 b 1 ， ∴ { b n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， ∴ b n ＝ 2 n ( n ∈ N * ). 解答 两式相减，得 给出 S n 与 a n 的递推关系，求 a n ，常用思路：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 思维升华 解答 跟踪演练 1 　 (2018· 绵阳诊断性考试 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足： a 1 a n ＝ S 1 ＋ S n . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 由已知 a 1 a n ＝ S 1 ＋ S n ， ① 当 n ≥ 2 时，由已知可得 a 1 a n － 1 ＝ S 1 ＋ S n － 1 ， ② ① － ② 得 a 1 ( a n － a n － 1 ) ＝ a n . 若 a 1 ＝ 0 ，则 a n ＝ 0 ，此时数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 0. 若 a 1 ＝ 2 ，则 2( a n － a n － 1 ) ＝ a n ，化简得 a n ＝ 2 a n － 1 ， 即此时数列 { a n } 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 故 a n ＝ 2 n ( n ∈ N * ). 综上所述，数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 0 或 a n ＝ 2 n . 解答 (2) 若 a n >0 ， 数列 的 前 n 项和为 T n ，试问当 n 为何值时， T n 最小 ？ 并 求出最小值 . 解　 因为 a n >0 ，故 a n ＝ 2 n . 由 n － 5 ≥ 0 ，解得 n ≥ 5 ，所以当 n ＝ 4 或 n ＝ 5 时， T n 最小 ， 热点二　数列与函数、不等式的综合 问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题 . 解答 例 2 　 (2018· 遵义联考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln(1 ＋ x ) － . (1) 若 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤ 0 ，求 λ 的最小值； 解　 由已知可得 f (0) ＝ 0 ， ① 若 λ ≤ 0 ，则当 x >0 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 单调递增， ∴ f ( x ) ≥ f (0) ＝ 0 ，不合题意； 则当 x >0 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 单调递减， 当 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤ f (0) ＝ 0 ，符合题意 . 证明 … ， 以上各式两边分别相加可得 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点 (1) 数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视 . (2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件 . (3) 不等关系证明中进行适当的放缩 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (2018· 南昌模拟 ) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ，满足 S 4 ＝ 2 a 4 － 1 ， S 3 ＝ 2 a 3 － 1. (1) 求 { a n } 的通项公式； 解答 解　 设 { a n } 的公比为 q ， 由 S 4 － S 3 ＝ a 4 ， S 4 ＝ 2 a 4 － 1 得， 2 a 4 － 2 a 3 ＝ a 4 ， 所以 a 1 ＋ 2 a 1 ＋ 4 a 1 ＝ 8 a 1 － 1 ，所以 a 1 ＝ 1 ， 所以 a n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). 证明 证明　 由 (1) 知 b n ＝ log 2 ( a n ＋ 1 · a n ) ＝ log 2 (2 n × 2 n － 1 ) ＝ 2 n － 1 ， 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型 —— 数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题 . 求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 . 热点三　数列的实际应用 解答 例 3 　 科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放 ( 简称碳排放 ) 对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对 A 市每年的碳排放总量规定不能超过 550 万吨，否则将采取紧急限排措施 . 已知 A 市 2017 年的碳排放总量为 400 万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少 10%. 同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量 m 万吨 ( m >0). (1) 求 A 市 2019 年的碳排放总量 ( 用含 m 的式子表示 ) ； 解　 设 2018 年的碳排放总量为 a 1 ,2019 年的碳排放总量为 a 2 ， … ， 由已知， a 1 ＝ 400 × 0.9 ＋ m ， a 2 ＝ 0.9 × (400 × 0.9 ＋ m ) ＋ m ＝ 400 × 0.9 2 ＋ 0.9 m ＋ m ＝ 324 ＋ 1.9 m . 解答 (2) 若 A 市永远不需要采取紧急限排措施，求 m 的取值范围 . 解　 a 3 ＝ 0.9 × (400 × 0.9 2 ＋ 0.9 m ＋ m ) ＋ m ＝ 400 × 0.9 3 ＋ 0.9 2 m ＋ 0.9 m ＋ m ， … ， a n ＝ 400 × 0.9 n ＋ 0.9 n － 1 m ＋ 0.9 n － 2 m ＋ … ＋ 0.9 m ＋ m ＝ (400 － 10 m ) × 0.9 n ＋ 10 m . 由已知 ∀ n ∈ N * ， a n ≤ 550 ， (1) 当 400 － 10 m ＝ 0 ，即 m ＝ 40 时，显然满足题意； (2) 当 400 － 10 m >0 ，即 m <40 时 ， 由 指数函数的性质可得 (400 － 10 m ) × 0.9 ＋ 10 m ≤ 550 ，解得 m ≤ 190. 综合得 m <40 ； (3) 当 400 － 10 m <0 ，即 m >40 时， 由指数函数的性质可得 10 m ≤ 550 ， 解得 m ≤ 55 ，综合得 40< m ≤ 55. 综上可得所求 m 的范围是 (0 ， 55]. 常见数列应用题模型的求解方法 (1) 产值模型：原来产值的基础数为 N ，平均增长率为 p ，对于时间 n 的总产值 y ＝ N (1 ＋ p ) n . (2) 银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ r ) n . (3) 银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为 a 元，每期的利率为 r ，存期为 n ，则本利和 y ＝ a (1 ＋ nr ). (4) 分期付款模型： a 为贷款总额， r 为年利率， b 为等额还款数，则 b ＝ . 思维升华 跟踪演练 3 　 (2018· 上海崇明区模拟 )2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目 . 规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目 .2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长 50%. 记 2016 年为第 1 年， f ( n ) 为第 1 年至此后 第 n ( n ∈ N * ) 年的累计利润 ( 注：含 第 n 年 ，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元 ) ，且 当 f ( n ) 为正值时，认为该项目赢利 . 解答 (1) 试求 f ( n ) 的 表达式； 解　 由题意知，第 1 年至此后第 n ( n ∈ N * ) 年的累计投入为 8 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n ＋ 6( 千万元 ) ， 第 1 年至此后第 n ( n ∈ N * ) 年的累计净收入 为 解答 (2) 根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由 . ∴ 当 n ≤ 3 时， f ( n ＋ 1) － f ( n )<0 ， 故当 n ≤ 4 时， f ( n ) 递减； 当 n ≥ 4 时， f ( n ＋ 1) － f ( n )>0 ， 故当 n ≥ 4 时， f ( n ) 递增 . ∴ 该项目将从第 8 年开始并持续赢利 . 答： 该项目将从 2023 年开始并持续赢利 . ∴ x ≈ 4 . 从而当 x ∈ [1,4) 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 单调递减； 当 x ∈ (4 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x )>0 ， f ( x ) 单调递增 . ∴ 该项目将从第 8 年开始并持续赢利 . 答： 该 项目将从 2023 年开始并持续赢利 . 真题押题精练 1.(2018· 全国 Ⅰ ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ______. 真题体验 解析 － 63 答案 解析 　 ∵ S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2). 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，得 a 1 ＝－ 1. ∴ 数列 { a n } 是首项 a 1 ＝－ 1 ，公比 q ＝ 2 的等比数列， ∴ S 6 ＝ 1 － 2 6 ＝－ 63. 2.(2017· 山东 ) 已知 { x n } 是各项均为正数的等比数列，且 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 ， x 3 － x 2 ＝ 2. (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解答 解 　 设数列 { x n } 的公比为 q . 所以 3 q 2 － 5 q － 2 ＝ 0 ， 由已知得 q >0 ， 所以 q ＝ 2 ， x 1 ＝ 1. 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). (2) 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 依次连接点 P 1 ( x 1 ， 1 ) ， P 2 ( x 2 ， 2 ) ， … ， P n ＋ 1 ( x n ＋ 1 ， n ＋ 1) 得到折线 P 1 P 2 … P n ＋ 1 ，求由该折线与直线 y ＝ 0 ， x ＝ x 1 ， x ＝ x n ＋ 1 所围成的区域的面积 T n . 解答 解　 过 P 1 ， P 2 ， … ， P n ＋ 1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q 1 ， Q 2 ， … ， Q n ＋ 1 . 由 (1) 得 x n ＋ 1 － x n ＝ 2 n － 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 记梯形 P n P n ＋ 1 Q n ＋ 1 Q n 的面积为 b n ， 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ 5 × 2 0 ＋ 7 × 2 1 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 3 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 2 . ① 又 2 T n ＝ 3 × 2 0 ＋ 5 × 2 1 ＋ 7 × 2 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 2 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 ， ② ① － ② 得 － T n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ (2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) － (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 押题预测 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足关系式 S n ＝ ka n ＋ 1 ， k 为不等于 0 的常数 . (1) 试判断数列 { a n } 是否为等比数列； 押题依据　 本题综合考查数列知识，考查反证法的数学方法及逻辑推理能力 . 解答 押题依据 解　 若数列 { a n } 是等比数列，则由 n ＝ 1 得 a 1 ＝ S 1 ＝ ka 2 ，从而 a 2 ＝ ka 3 . 又取 n ＝ 2 ，得 a 1 ＋ a 2 ＝ S 2 ＝ ka 3 ， 于是 a 1 ＝ 0 ，显然矛盾，故数列 { a n } 不是等比数列 . 押题依据　 是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前 n 项和的常用方法 “ 裂项相消法 ” 与 “ 错位相减法 ” 结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力 . 解答 押题依据 从而 S n ＝ a n ＋ 1 . 当 n ≥ 2 时，由 S n － 1 ＝ a n ，得 a n ＝ S n － S n － 1 ＝ a n ＋ 1 － a n ， 从而其前 n 项和 S n ＝ 2 n － 2 ( n ∈ N * ). ② 由 ① 得 b n ＝ n － 2 ， 记 C 2 ＝ 1·2 － 1 ＋ 2·2 0 ＋ … ＋ n ·2 n － 2 ， 则 2 C 2 ＝ 1·2 0 ＋ 2·2 1 ＋ … ＋ n ·2 n － 1 ， 即 n 2 ＋ n － 90>0 ，因为 n ∈ N * 且 n ≠ 1 ，故 n >9 ， 从而最小正整数 n 的值是 10.