高考数学 17-18版 第9章 第41课 课时分层训练41 10页

课时分层训练(四十一)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序号) 【导学号：62172226】‎ ‎①α⊥β且m⊂α；‎ ‎②α⊥β且m∥α；‎ ‎③m∥n且n⊥β；‎ ‎④m⊥n且α∥β.‎ ‎③　[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知③正确．]‎ ‎2．(2017·徐州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ ‎①若l∥α，l∥β，则α∥β；‎ ‎②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，l⊥α，则l∥β；‎ ‎④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.‎ ‎②　[①中，α∥β或α与β相交，不正确．②中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，‎ 由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，②正确．‎ ‎③中，l∥β或l⊂β，③不正确．‎ ‎④中，l与β的位置关系不确定．]‎ ‎3．如图418，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是____________．(填序号)‎ 图418‎ ‎①BC∥平面PDF；‎ ‎②DF⊥平面PAE；‎ ‎③平面PDF⊥平面PAE；‎ ‎④平面PDE⊥平面ABC.‎ ‎④　[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，‎ BC⊄平面PDF，‎ 所以BC∥平面PDF，故①正确．‎ 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，‎ 所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正确．]‎ ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；‎ ‎④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ ‎③　[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；‎ ‎②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；‎ ‎③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；‎ ‎④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]‎ ‎5．如图419，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)‎ 图419‎ ‎①平面ABC⊥平面ABD；‎ ‎②平面ABD⊥平面BCD；‎ ‎③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；‎ ‎④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.‎ ‎③　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]‎ ‎6．如图4110所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 【导学号：62172227】‎ 图4110‎ DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.‎ 又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]‎ ‎7．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ ‎②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．‎ 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．‎ 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]‎ ‎8．如图4111，在三棱柱ABCA1B‎1C1‎ 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB‎1C1C的中心，则AD与平面BB‎1C1C所成角的大小是________．‎ 图4111‎ 　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB‎1C1C.‎ 所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．‎ 设三棱柱的所有棱长为a，‎ 在Rt△AED中，‎ AE＝a，DE＝.‎ 所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.‎ 故AD与平面BB1C1C所成的角为.]‎ ‎9.如图4112，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B‎1F的长为____________．‎ 图4112‎ 　[设B‎1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可得A1B1＝，‎ 设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，‎ 则DE＝h.‎ 由面积相等得2×＝h，‎ 所以h＝，DE＝.‎ 在Rt△DB1E中，‎ B1E＝＝.‎ 由面积相等得×＝x，‎ 得x＝.]‎ ‎10.(2017·南京模拟)如图4113，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 图4113‎ 其中正确结论的序号是____________. 【导学号：62172228】‎ ‎①②③　[由题意知PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，‎ 故①②③正确．]‎ ‎11．(2017·盐城模拟)如图4114，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.‎ 设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，求证：‎ ‎(1)DE∥平面AA‎1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 图4114‎ ‎[证明]　(1)由题意知，E为B‎1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC－A1B‎1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.‎ ‎12．(2016·苏州期末)如图4115，在直四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A‎1C1与B1D1交于点O.‎ ‎(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；‎ ‎(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A‎1C1FE. ‎ ‎【导学号：62172229】‎ 图4115‎ ‎[证明]　(1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，‎ 所以EF∥AC.‎ 由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.‎ 所以EF∥A1C1，‎ 故A1，C1，F，E四点共面．‎ ‎(2)连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B‎1C1D1，A‎1C1⊂平面A1B‎1C1D1，‎ 所以DD1⊥A1C1.‎ 因为底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1.‎ 又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.‎ 因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.‎ 又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，‎ 所以OD⊥平面A1C1FE.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．如图4116，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是____________．(填序号)‎ 图4116‎ ‎①O是△AEF的垂心；　　　 ③O是△AEF的内心；‎ ‎③O是△AEF的外心； ④O是△AEF的重心．‎ ‎①　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心．]‎ ‎2．如图4117，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝‎2a，BB1＝‎3a，D是A‎1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图4117‎ a或‎2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．‎ 设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]‎ ‎3．(2016·四川高考)如图4118，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ 图4118‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎[解]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：连结CM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 所以CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连结BM，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD，‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.‎ 又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.‎ ‎4．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图①)．‎ ‎①　　　　　②‎ 图4119‎ ‎(1)求证：OF∥平面ACD；‎ ‎(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，‎ 又因为F为的中点，‎ 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，‎ 又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，‎ 所以OF∥平面ACD.‎ ‎(2)存在，E为AD中点，‎ 因为OA＝OD，所以OE⊥AD.‎ 又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．‎ 所以OC⊥平面OAD.‎ 又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，‎ 由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，‎ 所以AD⊥平面OCE.‎ 又AD⊂平面ACD，‎ 所以平面OCE⊥平面ACD.‎