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- 2021-05-10 发布
能力课 多物体平衡及平衡中的临界、
极值问题
平衡中的连接体问题
1
．
连接体
多体是指两个或者两个以上的物体组成的物体系统，中间可用绳、杆或弹簧连接或直接连接（连接体），也可以是几个物体叠加在一起（叠加体），一般靠摩擦力相互作用。
2
．
内力和外力
当
A
、
B
视为整体时，
A
对
B
的作用力就属于内部力，受力分析时不用考虑；单独对
B
分析时，
A
对
B
的作用力就属于外力，受力分析时必须考虑。
3
．
整体法与隔离法
（
1
）当涉及整体与外界作用时，用整体法。
（
2
）当涉及物体间的作用时，用隔离法。
（
3
）整体法和隔离法选取的原则：先整体后隔离。
图
1
解析
用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力
2
mg
、水平向左的力
F
（甲受到的）、水平向右的力
F
（乙受到的）和细线
1
的拉力，两水平力相互平衡，故细线
1
的拉力一定与重力
2
mg
等大反向，即细线
1
一定竖直；再用隔离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力
mg
，水平向右的拉力
F
，细线
2
的拉力
F
2
。要使得乙球受力平衡，细线
2
必须向右倾斜。
答案
A
答案
B
答案
C
图
2
解析
把两个小球看成整体，分析受力，由平衡条件可得：
F
A
sin 30°
＝
F
C
，
又
F
A
＝
kx
A
，
F
C
＝
kx
C
，
联立解得弹簧
A
、
C
的伸长量之比
x
A
∶
x
C
＝
1
∶
sin 30°
＝
2
∶
1
，选项
D
正确。
答案
D
图
3
A
．
P
向下滑动
B
．
P
静止不动
C
．
P
所受的合外力增大
D
．
P
与斜面间的静摩擦力增大
答案
BD
图
4
答案
A
平衡中的临界极值问题
1
．
临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态
“
恰好出现
”
或
“
恰好不出现
”
，在问题的描述中常用
“
刚好
”
、
“
刚能
”
、
“
恰好
”
等语言叙述。
常见的临界状态有：
（
1
）两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为
0
（主要体现为两物体间的弹力为
0
）；
（
2
）绳子断与不断的临界条件为绳中张力达到最大值；绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中张力为
0
；
（
3
）存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
研究的基本思维方法：假设推理法。
2
．
极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用图解法或解析法进行分析。
图
5
答案
A
图
6
答案
D
图
7
A
．物块的质量
B
．斜面的倾角
C
．物块与斜面间的最大静摩擦力
D
．物块对斜面的正压力
2
mg
sin
θ
，因
m
和
θ
均未知，所以不能求出物块的质量、斜面的倾角和物块对斜面的压力。
答案
C
图
8
答案
AB
涉及极值的临界问题的三种解答方法
（
1
）假设推理法
先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
（如示例
3
、变式
3
的求解方法就是假设法）
（
2
）数学方法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
（如示例
4
的求解方法）
方法技巧
（
3
）图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
（如变式
4
的求解方法）
1
．
（
2015·
山东理综，
16
）
如图
9
，滑块
A
置于水平地面上，滑块
B
在一水平力作用下紧靠滑块
A
（
A
、
B
接触面竖直），此时
A
恰好不滑动，
B
刚好不下滑。已知
A
与
B
间的动摩擦因数为
μ
1
，
A
与地面间的动摩擦因数为
μ
2
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
A
与
B
的质量之比为（ ）
图
9
答案
B
2
．
（
2017·
湖北孝感联考）
如图
10
所示，一只可视为质点的蚂蚁在半球形碗内缓慢从底部爬到
a
处，则下列说法正确的是（ ）
图
10
A
．在
a
点碗对蚂蚁的支持力大于在
b
点的支持力
B
．在
a
点碗对蚂蚁的摩擦力大于在
b
点的摩擦力
C
．在
a
点碗对蚂蚁的作用力大于在
b
点的作用力
D
．在
a
点蚂蚁受到的合力大于在
b
点受到的合力
解析
由题意知，蚂蚁在半球形碗内爬行过程中受到竖直向下的重力、碗的支持力和摩擦力，设支持力方向与竖直方向的夹角为
θ
，蚂蚁的质量为
m
，因蚂蚁缓慢爬行，则由力的平衡条件知蚂蚁受到的支持力和摩擦力分别为
N
＝
mg
cos
θ
、
f
＝
mg
sin
θ
，由于
θ
a
＞
θ
b
，因此
N
a
＜
N
b
，
f
a
＞
f
b
，即在
a
点碗对蚂蚁的支持力小于在
b
点的支持力，在
a
点碗对蚂蚁的摩擦力大于在
b
点的摩擦力，故选项
A
错误，
B
正确；碗对蚂蚁的作用力是支持力和摩擦力的合力，与重力大小相等，方向相反，即在
a
点碗对蚂蚁的作用力等于在
b
点的作用力，在
a
点蚂蚁受到的合力等于在
b
点受到的合力，皆为
0
，故选项
C
、
D
错误。
答案
B
3
．
（
2016·
湖南长沙一模，
16
）
如图
11
所示，倾角为
θ
的斜面体
c
置于水平地面上，小盒
b
置于斜面上，通过跨过光滑定滑轮的细绳与物体
a
连接，连接
b
的一段细绳与斜面平行，连接
a
的一段细绳竖直，
a
连接在竖直固定在地面的弹簧上，现向
b
盒内缓慢加入适量砂粒，
a
、
b
、
c
始终处于静止状态，下列说法中正确的是（ ）
图
11
A
．
b
对
c
的摩擦力可能先减小后增大
B
．地面对
c
的支持力可能不变
C
．
c
对地面的摩擦力方向始终向左
D
．弹簧的弹力可能增大
解析
当向
b
盒内缓慢加入砂粒的过程中，
a
、
b
、
c
一直处于静止状态，对
a
分析，弹簧弹力不变，
a
的重力不变，则细绳拉力不变；对
b
、
c
整体分析知，其受方向始终向左的摩擦力，故
c
对地面的摩擦力方向始终向右，由于
b
、
c
整体质量增大，则地面对
c
的支持力增大，
B
、
C
、
D
错；如果开始时，
b
所受
c
的摩擦力沿斜面向上，则对
b
分析可知，随着砂粒的加入
b
对
c
的摩擦力可能先减小后增大，
A
对。
答案
A
4
．如图
12
所示，粗糙斜面
P
固定在水平面上，斜面倾角为
θ
，在斜面上有一个小滑块
Q
。若给
Q
一个水平向右的推力
F
，无论推力为多大，
Q
都不会向上滑动，则
P
、
Q
间的动摩擦因数（ ）
图
12
答案
A