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- 2021-05-10 发布
函数的综合应用
一．函数综合问题
1．函数内容本身的相互综合，包括概念、性质、图象及几种基本初等函数的综合问题
2．函数与方程、不等式的综合问题
3．函数与数列、三角的综合问题
4．函数与几何的综合问题
5．函数在实际应用（上一节）的综合问题
二、举例剖析
函数的性质综合
例1．书P32例2
变式一：已知奇函数满足的值为 。
解：
变式一．已知定义在R上的函数 满足：
（1）求证： ,且当x<0时,
（2）求证 在R上是减函数
例2．书P33例4
函数与几何
例3．若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点和，则不等式的解集 （-1，2） 。
函数与方程、不等式
例4．书P33例3
函数与数列
例5．书P32例1
（备）变式一：设函数
（1）n=1,2,3……时,把已知函数的图象和直线y=1的交点横坐标依次记为a1,a2,a3,…an, …，求证：a1+a2+a3+an<1;
（2）对于每一个n值,设An,Bn为已知函数图象上与x轴距离为1的两点,求证:n取任意一个正整数时,以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切,求出这条定直线和切点坐标.
解：(1)原函数化为
(2) 以An,Bn为曲线上的点且与x轴距离为1,则,又An,Bn的中点C到y轴的距离为,所以,以C为圆心,以为直线的圆与y轴相切,故定直线为x=0,且切点为(0,0).
三.小结
1．函数的概念、性质及几种基本初等函数的综合问题。
2．函数与几何的综合问题。
3．函数与方程、不等式的综合问题。
4．函数与数列等的综合问题。
四.作业。优化设计
备例1．(P104考例3)已知二次函数
(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;
(2)在(1)的条件下,是否存在m∈R,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.
(3)若对
.
解:(1)的图象与x轴有两个交点.
(2)的一个根,由韦达定理知另一根为
在(1,+∞)单调递增,,即存在这样的m使
(3)令,则是二次函数.
的根必有一个属于.
备例2．(P104变式3)已知,当点M(x,y)在函数的图象上运动时,点(x-2,ny)在函数的图象上运动(n∈N+)
(1)求的表达式
(2)设求F(x)的表达式,判断其单调性,并给予证明.
(3)求集合
解：（1）由点M(x,y)在函数的图象运动上，点(x-2,ny)在函数的图象上，可得
（2）从而可知F（x）是（-2，+∞）上的减函数，事实上，令
从而在（-2，+∞）上为减函数。
（3）即求使方程有解的a的取值范围。
直线与抛物线相切时，。数形结合知a的范围是
（分变量法）
只要令
备例3.已知,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n.,不等式恒成立.
分析:由题意知,但由于无法求和,故对给出的不等式难以处理,解决本题的关键在于把看作n的函数,此时已知不等式恒成立就等价转化为:函数的啊小值大于,而求最小值又应从研究f(n)的单调性入手.
解:
即
∴要使对于一切大于1的自然数n.,不等式恒成立,只需不等式恒成立即可.
由
,
由此易求得实数m的取值范围为