河北省沧州市第一中学2020年高三数学寒假作业3 19页

1 河北省沧州市第一中学 2020 年高三数学寒假作业 3 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1. 已知复数 ，则复数 的虚部为 A. 1 B. C. i D. 2. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 3. 设 ， 均为单位向量，当 ， 的夹角为 时， 在 方向上的投影为 A. B. C. D. 4. 已知等差数列 满足 ，则 中一定为零的项是 A. B. C. D. 5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试 合格考 和选择性考试 选择 考 其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原 始卷面分数，由高到低进行排序，评定为 A、B、C、D、E 五个等级，某试点高中 2018 年参加“选择考”总人数是 2016 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好地分析该 校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果， 得到：如图表 针对该校“选择考”情况，2018 年与 2016 年比较，下列说法正确的是 A. 获得 A 等级的人数减少了 B. 获得 B 等级的人数增加了 倍 C. 获得 D 等级的人数减少了一半 D. 获得 E 等级的人数相同 6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为 2 A. B. C. D. 7. 设函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度， 得到函数 的图象，若 为偶函数，则 的最小值是 A. B. C. D. 8. 设数列 的前 n 项和为 ，满足 ，则 A. 0 B. C. D. 9. 已知抛物线 C： ，过其焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点， 记 的面积为 S，且满足 ，则 A. B. 1 C. D. 2 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积 为 A. B. C. D. 3 11. 已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点 在 的图象上，则实数 k 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 在 中，A，B、C 为其三内角，满足 tanA，tanB、tanC 都是整数，且 ，则 下列结论中错误的是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知 ，则 ______． 14. 已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆 交 C 的一条渐近线于点 在第一象限内 ，若线段 的中点 Q 在 C 的另一条渐近线上， 则 C 的离心率 ______． 15. 中国光谷 武汉 某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器， 每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若 元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则该部件正常 工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命 单位：小时 均服从正态分布 ，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取 1000 台 检测该部件的工作情况 各部件能否正常工作相互独立 ，那么这 1000 台仪器中该部件 的使用寿命超过 10000 小时的平均值为______台 16. 已知正方体 的棱长为 2，P 为体对角线 上的一点，且 ，现有以下判断， 若 平画 PAC，则 周 长的最小值是 若 为钝角三角形，则 的取值范国为 其中正确判断 的序号为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在 中， ，AD 是 的内角平分线，点 D 在线段 BC 上，且 ． 求 sinB 的值； 若 ，求 的面积 18. 如图，等腰梯形 ABCD 中， ， ， ，E 为 CD 中点，以 AE 为折 痕把 折起，使点 D 到达点 P 的位置 平面 ． 4 Ⅰ 证明： ； Ⅱ 若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为 ，求二面角 的余弦值． 19. 已知点 在椭圆 C： 上，且点 M 到 C 的左、右焦点的距离之 和为 求 C 的方程 设 O 为坐标原点，若 C 的弦 AB 的中点在线段 不含端点 O， 上，求 的取 值范围 20. 武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有 黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等 为了解“五 一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在 22 岁 到 52 岁的游客中随机抽取了 1000 人，制成了如下的频率分布直方图： 现从年龄在 内的游客中，采用分层抽样的方法抽取 10 人，再从抽取的 10 人中 随机抽取 4 人，记 4 人中年龄在 内的人数为 ，求 为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在 2020 年劳动节当日 投人至少 1 艘至多 3 艘型游船供游客乘坐观光，由 2010 到 2019 这 10 年间的数据资料 显示每年劳动节当日客流量 单位：万人 都大于 将每年劳动节当日客流量数据分成 3 个区间整理得如表 劳动节当日客流量 X 频数 年 2 4 4 5 以这 10 年的数据资料记录的 3 个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的 概率，且每年劳动节当日客流量相互独立． 该游船中心希望投入的 A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日 A 型游船最多使 用量 单位艘 要受当日客流量 单位：万人 的影响，其关联关系如表 劳动节当日客流量 X A 型游船最多使用量 1 2 3 若某艘 A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润 3 万元；若 某艘 A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损 万元记 单位： 万元 表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动 节当日获得的总利润越大，问该游船中心在 2020 年劳动节当日应投人多少艘 A 型游船 才能使其当日获得的总利润最大． 21. 已知函数 ， 讨论 极值点的个数 若 是 的一个极值点，且 ，证明： ． 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数 ，在以原点为极点， x 轴正半轴为轴的坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ． 求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； 6 设点 ，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值． 23. 已知函数 ． 当 时，求不等式 的解集； 若不等式 对任意的 恒成立，求 a 的取值范围． 7 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：由 ，得 ． 则复数 的虚部为 1． 故选：A． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】C 【解析】解： 集合 ， ， 故选：C． 先分别求出集合 A，B，由此能求出 ． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 3.【答案】B 【解析】解：因为 ， 均为单位向量，且 ， 的夹角为 ， 所以 在 方向上的投影为： ， 故选：B． 在 方向上的投影为 ，代入数值计算即可． 本题考查了平面向量投影的计算，属基础题． 4.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用通项公式即可得出． 【解答】 解：设等差数列 的公差为 d， ， ，可得： ， ， 则 中一定为零的项是 ． 8 故选 A． 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问 题，是基础题． 根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答． 【解答】 解：由题可知：设 2016 年参加选择考的总人数为：a 人；则：2018 年参加选择考的总人数 为：2a 人； 2016 年评定为 A、B、C、D、E 五个等级的人数为： A： 、B： 、C： 、D： 、E： ； 2018 年评定为 A、B、C、D、E 五个等级的人数为：A： 、B： 、C： 、D： 、 E： ； 对各个选项进行比较可得 B 正确． 故选：B． 6.【答案】C 【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值， 由于 ． 故选：C． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， 是基础题． 7.【答案】A 【解析】解：函数 ， ， 将函数 的图象向左平移 个单位长度， 得到函数 的图象， 由于 为偶函数， 故： ， 解得： ， 当 时， 的最小值为 ． 故选：A． 9 首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移 变换和伸缩变换的应用和性质求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用， 主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 8.【答案】D 【解析】【分析】 直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能 力和转换能力，属于基础题型． 【解答】 解：数列 的前 n 项和为 ，满足 ， 则：当 n 为偶数时， ， 所以： ． 故选：D． 9.【答案】D 【解析】解：设直线 AB 的方程为： ，将其代入抛物线 C 的方程得： ， 设 ， ， 则 ， ， 又 ， ， ， ， 联立 可得 ， 由弦长公式得 ， ，解得： ． 故选：D． 联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式烈士可得． 本题考查了抛物线的性质，属中档题． 10.【答案】C 【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 10 所以： ， 故： ， 所以： ． 故选：C． 首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积． 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学 生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 11.【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可化为函数 图象与 的图象有且只有四个不同的交点，结 合题意作图求解即可． 本题考查了函数的性质的判断与应 用，同时考查了学生的作图能力及数 形结合的思想应用． 【解答】 解： 函数 的图象上 有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上， 而函数 关于直线 的对称图象为 ， 的图象与 的图象有且只有四个不同的交点． 作函数 的图象与 的图象如下， 易知直线 恒过点 ， 设直线 AC 与 相切于点 ， ， 11 故 ， 解得， ； 故 ． 设直线 AB 与 相切于点 ， ， 故 ， 解得， ． 故 ； 故 ， 故 ． 故选 A． 12.【答案】A 【解析】解： 中，由于 ， 所以 B，C 都是锐角， 由于 tanB，tanC 都是整数， 由 ，得 ， 可得 A 也为锐角， 这时， ， ， ， 可得： ，即 ， 由于： ， ，比较可知只可能 ， ， ， 由于： ，可知 ，故 B 正确； 由于： ，可知 ， 又 ，故选项 C 正确； 又由于 ，可得选项 D 正确； 故选：A． 由题意易得 B，C 都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求 ， 可得 A 也为锐角，由 ， ， ，可得 ，结合 ， ，比较可知只可能 ， ， ，逐项分析即可得解． 12 本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法， 属中档题． 13.【答案】10 【解析】解： ， 则 展开式的通项为 ， 令 得 ， 故答案为：10． 由二项式定理及展开式通项公式得： 展开式的通项为 ，令 得 ，得解． 本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题． 14.【答案】2 【解析】解：如图：因为 Q，O 分别是 ， 的 中点，所以 ， 为圆的直径， ， 直线 的方程为： 与 联立解得 ， 根据中点公式得 ，将其代入 得： ， ， ． 故答案为：2． 如图：因为 Q，O 分别是 ， 的中点，所以 ， 为圆的直径， ，再根据直线 的方程与 联立得 Q 的坐标，根据中点公 式得 P 的坐标，将其代入 可得 ，可得离心率． 本题考查了双曲线的性质，属中档题． 15.【答案】375 【解析】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 ， 得：三个电子元件的使用寿命超过 10000 小时的概率为 ， 设 超过 10000 小时时，元件 1、元件 2 至少有一个正常 ， 超过 10000 小时时，元件 3 正常 ， 该部件的使用寿命超过 10000 小时 ． 13 则 ， ， 事件 A，B 为相互独立事件，事件 C 为 A、B 同时发生的事件， ． 这 1000 台仪器中该部件的使用寿命超过 10000 小时的平均值为 ． 故答案为：375． 先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 10000 小时的概率为 ，而所求事 件“该部件的使用寿命超过 10000 小时”当且仅当“超过 10000 小时时， 元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 10000 小时，元件 3 正常”同时发生，由于其为 独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以 1000 得答案． 本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基 础知识，是中档题． 16.【答案】 【解析】解：对于 ， 面 ， 面 ， ， 正确； 对于 ，若 平面 PAC，几何体是正方体， 在 平面 中，则 ， 正确； 对于 ，建立空间直角坐标系，如图所示，设 x， ， ， 0， ， 2， ； ， 的周长最小值为 ， 错误； 对于 ，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长 ， 则 0， ， 1， ， 1， ， 0， ， 0， ， 1， ， 1， ， 0， ， ， ， ， ， 显然 不是平角，所以 为钝角等价于 ， ， 等价于 ， 即 ， 故 ， 正确； 故答案为： ． 根据空间中的垂直关系，即可判断 的正误； 利用正方体的特征，判断 平面 PAC 时对应 的值即可； 14 建立空间直角坐标系，即可求得 周长的最小值； 通过建立空间直角坐标系，求出 为钝角三角形时 的取值范围． 本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力． 17.【答案】解： 在 中，由正弦定理可得： ，即： ， 在 中，由正弦定理可得： ，即 ， 两式子相除可得： ，即 ， 可得： ，即 ， 又 ， 可得： ． 由 ，可得 B 是锐角，于是 ， 所以 ， 在 中，由正弦定理可得： ， 于是 ， 所以 ． 【解析】 在 中，由正弦定理可得 ，在 中，由正弦定理可得 ，两式相除可得 ，结合范围 ，利用同角三角函数基本关系式 可求 sinB 的值． 由同角三角函数基本关系式可求 cosB，利用两角和的正弦函数公式可求 ，在 中，由正弦定理可得 AB 的值，可求 的值，根据三角形的面积公式即可计 算得解． 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面 积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18.【答案】 证明：连接 BD，设 AE 的中点为 O， ， ， 四边形 ABCE 为平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 又 ，OP， 平面 POB， 平面 POB，又 平面 POB， ． 15 解：在平面 POB 内作 平面 ABCE，垂足为 Q，则 Q 在直线 OB 上， 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为 ， 又 ， ， 、Q 两点重合，即 平面 ABCE， 以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 0， ， 0， ， ， 0， ， ， 设平面 PCE 的一个法向量为 y， ， 则 ，即 ， 令 得 ， 又 平面 PAE， 1， 为平面 PAE 的一个法向量， 设二面角 为 ， 则 ， 易知二面角 为钝角，所以 ． 【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题． 连接 BD，设 AE 的中点为 O，可证 ， ，故而 平面 POB，于是 ； 证明 ，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的 大小． 19.【答案】解： 由题意可得： ， ，解得 ， ． 椭圆的标准方程为： ． 设 ， 直线 OM 的方程为： 弦 AB 的中点在线段 不含端点 O， 上， ，化为： 由 ， ，相减可得： ． 16 ， ． ． 设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆方程可得： ． 解得 ． 又 ， ． 由根与系数的关系可得： ， ． -- ． 而 ． ． 【解析】 由题意可得： ， ，解得 a， 即可得出椭圆的标准方程． 设 ， 直线 OM 的方程为： 弦 AB 的中点在线段 不含端点 O， 上， 可得 由 ， ，相减可得： 设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆方程可得： 解得 把根与系数的关系代入 化简即可得出． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜 率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20.【答案】解： 年龄在 内的游客人数为 150，年龄在 内的游客人数为 100， 若采用分层抽样的方法抽取 10 人，则年龄在 内的人数为 6 人， 年龄在 内的人数为 4 人， ． 当投入 1 艘 A 型游船时，因客流量总大于 1，则 万元 ， 当投入 2 艘 A 型游船时， 若 ，则 ， 此时 ， 若 ，则 ， 此时 ， 此时，Y 的分布列为： Y 6 17 P 此时 万元 ． 当投入 3 艘 A 型游船时， 若 ，则 ，此时 ， 若 ，则 ， 此时 ， 若 ，则 ，此时 ， 此时，Y 的分布列如下表： Y 2 9 P 此时， 万元 ． 由于 ， 则该游艇船中心在 2020 年劳动节当时应投入 3 艘 A 型游船使其当时获得的总利润最大． 【解析】 采用分层抽样的方法抽取 10 人，则年龄在 内的人数为 6 人，由此能求 出年龄在 内的人数为 4 人， 的值． 当投入 1 艘 A 型游船时，因客流量总大于 1，则 万元 ，当投入 2 艘 A 型游船时， 求出 Y 的分布列，从而 万元 当投入 3 艘 A 型游船时，求出 Y 的分布 列，从而 万元 ，由此能求出该游艇船中心在 2020 年劳动节当 时应投入 3 艘 A 型游船使其当时获得的总利润最大． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基 础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 21.【答案】 解： 的定义域为 R， ； 若 ，则 ； 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 是 唯一的极小值点，无极大值点，故此时 有 1 个极值点； 若 ，令 ，则 ， ； 当 时， ，可知当 时， ；当 时， ； ， 分别是 的极大值点和极小值点，故此时 有 2 个极值点； 当 时， ， ，此时 在 R 上单调递增，无极值点； 当 时， ，同理可知， 有 2 个极值点； 综上，当 时， 无极值点；当 时， 有 1 个极值点；当 或 时， 有 2 个极值点 证明：若 是 的一个极值点，由 知 ； 又 ； 18 ； 则 ； ； 令 ，则 ； ； ； 又 ； ； 令 ，得 ； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 是 唯一得极大值点，也是最大值点，即 ； ，即 ． 【解析】 对 求导，对于 a 的取值进行分类讨论，进而得出 的增减性与极值点的个 数； 根据题目条件和第 问，确定 a 的范围，得到 的表达式，再利用换元法令 ， 求出函数 的最大值，从而得证 ． 本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题． 22.【答案】解： 由 消去参数 ，得 ，即曲线 C 的普通方程为： ， 由 ，得 ，化为直角坐标方程为： ． 由 知，点 在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 为参数 ， 即 为参数 ，代入 并化简得 ， ，设 A，B 两点对应的参数分别为 ， ，得 ， ， 所以 ， 所以 ． 【解析】 消去参数 可得曲线 C 的普通方程；根据互化公式可得直线 l 的直角坐标方程； 根据参数 t 的几何意义可得． 本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题． 23.【答案】解： 当 时， ， 等价于 或 或 ， 19 解得 或 ， 不等式的解集为 或 ； 当 时，由 得 即 ， 或 对任意的 恒成立， 又 ， ， 或 ，又 ， ， 的取值范围为： ． 【解析】 将 代入 中，去绝对值，然后分别解不等式； 由条件可得 ，即 或 对任意的 恒成立，然后解出 a 的范围即 可． 本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．