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- 2021-05-09 发布
课时跟踪检测(三十八) 基本不等式
一、选择题
1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋＞
C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab
3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( )
A．0 B．1
C．2 D.
5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是( )
A．4 B.
C．8 D．9
6．函数y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
二、填空题
7．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
10.规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．
三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
答案
1．选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
2．选C ∵ab＞0，∴＞0，＞0.
由基本不等式得＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选C.
3．选B (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.
4．选B ∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.
lg a·lg b≤＝＝1.
当且仅当a＝b＝10时取等号．
5．选D ∵＝－＝(a－1,1)，
＝－＝(－b－1,2)，
若A，B，C三点共线，
则有∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴＋＝·(2a＋b)
＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.
6．选A ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝＝
＝＝x－1＋＋2
≥2 ＋2＝2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．
7．解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
8．解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.
答案：3
9．解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 ＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．
答案：5
10．解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
当且仅当＝，即x＝1时等号成立．
答案：1 3
11．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2 ＝，
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
12．解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 －200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．