2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-2 直线、圆的位置关系（讲解部分） 40页

专题九　平面解析几何 §9.2 　直线、圆的位置关系 高考文数 考点一　点与直线、直线与直线的位置关系 考点清单 考向基础 1.两直线的位置关系 2.点、直线间的距离 (1)已知点 P 的坐标为( x 0 , y 0 ),直线 l 的方程是 Ax + By + C =0,则点 P 到 l 的距离 d =   . (2)设两条平行直线 l 1 : Ax + By + C =0, l 2 : Ax + By + D =0,且 D ≠ C ,则 l 1 与 l 2 间的距离 d =   . 常见直线系方程 1.过定点( x 1 , y 1 )的直线系方程为 A ( x - x 1 )+ B ( y - y 1 )=0( A 2 + B 2 ≠ 0),还可以表示为 y - y 1 = k ( x - x 1 )和 x = x 1 . 2.平行于直线 Ax + By + C =0的直线系方程为 Ax + By + λ =0( λ ≠ C ). 3.垂直于直线 Ax + By + C =0的直线系方程为 Bx - Ay + λ =0. 4.过两条已知直线 A 1 x + B 1 y + C 1 =0, A 2 x + B 2 y + C 2 =0交点的直线系方程为 A 1 x + B 1 y + C 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 )=0(其中不包括直线 A 2 x + B 2 y + C 2 =0). 【知识拓展】 考向一　两条直线垂直(平行)的关系 考向突破 例1　已知两直线 l 1 : x + y sin α -1=0和 l 2 :2 x sin α + y +1=0. (1)若 l 1 ∥ l 2 ,则 α = 　　　     ; (2)若 l 1 ⊥ l 2 ,则 α = 　　　     . 解析　(1)解法一:当sin α =0时,直线 l 的斜率不存在,直线 l 2 的斜率为0,显然 l 1 不平行于 l 2 ;当sin α ≠ 0时, k 1 =-   , k 2 =-2sin α ,要使 l 1 ∥ l 2 ,需-   =-2sin α ,即 sin α = ±   ,所以 α = k π ±   , k ∈Z,此时两直线的斜率相等,故当 α = k π ±   , k ∈Z 时, l 1 ∥ l 2 . 解法二:由 A 1 B 2 - A 2 B 1 =0得1-2sin 2 α =0,所以sin α = ±   ,又 B 1 C 2 - B 2 C 1 ≠ 0,所以1+ sin α ≠ 0,即sin α ≠ -1,所以 α = k π ±   ( k ∈Z),故当 α = k π ±   , k ∈Z时, l 1 ∥ l 2 . 　　(2)因为 A 1 A 2 + B 1 B 2 =0是 l 1 ⊥ l 2 的充要条件,所以2sin α +sin α =0,即sin α =0, 所以 α = k π( k ∈Z),故当 α = k π( k ∈Z)时, l 1 ⊥ l 2 . 答案　(1) k π ±   ( k ∈Z)　(2) k π( k ∈Z) 考向二　距离公式的应用 例2　两直线3 x + y -3=0和6 x + my -1=0平行,则它们之间的距离为 　　　     . 解析　因为两直线平行,所以 m =2. 解法一:在直线3 x + y -3=0上取点(0,3),代入点到直线的距离公式,得 d =   =   . 解法二:将6 x +2 y -1=0化为3 x + y -   =0,由两条平行线间的距离公式得 d =   =   . 答案       例3    (2020届河南天一大联考(二),4)已知点 P (1,3),则当点 P 到直线 l :(2 a - b ) x +( a + b ) y + a - b =0的距离最大时,直线 l 的方程为 　　　　　　     . 考向三　定点直线系 解析　直线 l 的方程可化为 a (2 x + y +1)+ b (- x + y -1)=0, 由   得   即直线 l 恒过定点   ,设该定点为 A ,故当直线 l 垂直于直线 PA 时,点 P 到直线 l 的距离最大,又知 k PA =   =   ,∴ k l =-   ,故直 线 l 的方程为 y -   =-     ,即15 x +24 y +2=0. 答案　15 x +24 y +2=0 考向基础 1.点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d ,圆的半径为 r ,点 P 在圆外 ⇔ d > r ;点 P 在圆上 ⇔ d = r ; 点 P 在圆内 ⇔ d < r . 2.直线与圆的位置关系的判断 设直线 l : Ax + By + C =0( A 2 + B 2 ≠ 0),圆 C :( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0), d 为圆心( a , b )到直 线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程根的判别式 为 Δ . 考点二　直线、圆的位置关系 位置 关系 判断方法 公共点个数 代数法 几何法 相交 Δ >0 d < r 2 相切 Δ =0 d = r 1 相离 Δ <0 d > r 0 3.两圆的位置关系的判定 设圆 O 1 的方程为( x - a 1 ) 2 +( y - b 1 ) 2 = R 2 ( R >0),圆 O 2 的方程为( x - a 2 ) 2 +( y - b 2 ) 2 = r 2 ( r >0), 其中 R > r . 位置 关系 判断方法 公共点 个数 公切线 条数 几何法(判断圆心 距| O 1 O 2 |与 R , r 的关 系) 代数法(联立两圆 方程,判断解的个 数) 外离 | O 1 O 2 |> R + r 无解 0 4 外切 | O 1 O 2 |= R + r 一解 1 3 相交 R - r <| O 1 O 2 |< R + r 两解 2 2 内切 | O 1 O 2 |= R - r 一解 1 1 内含 0 ≤ | O 1 O 2 |< R - r 无解 0 0 【知识拓展】 1.常见的圆系方程 (1)同心圆系方程:( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0),其中 a , b 是定值, r 是参数. (2)半径相等的圆系方程:( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0),其中 r 是定值, a , b 是参数. (3)过直线 Ax + By + C =0与圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0的交点的圆系方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C )=0( λ ∈R). (4)过圆 C 1 : x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 =0和圆 C 2 : x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 =0的交点的圆系方 程: x 2 + y 2 + D 1 x + E 1 y + F 1 + λ ( x 2 + y 2 + D 2 x + E 2 y + F 2 )=0( λ ≠ -1)(其中不含圆 C 2 ,因此注 意检验圆 C 2 是否满足题意,以防丢解). 2.与圆的切线有关的结论 (1)过圆 x 2 + y 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 ; (2)过圆( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 )的切线方程为( x 0 - a )( x - a )+( y 0 - b )( y - b )= r 2 ; (3)过圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点 P ( x 0 , y 0 )作圆的两条切线,切点为 A , B ,则过 A 、 B 两点的 直线方程为 x 0 x + y 0 y = r 2 ; (4)过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0( D 2 + E 2 -4 F >0)外一点 P ( x 0 , y 0 )引圆的切线,切点为 T , 则切线长为| PT |=   . 3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法 (1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直线 方程; (2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程. 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交. 考向一　直线与圆的位置关系 考向突破 例4    (2019山西晋中质检,5)直线 x - ky +1=0与圆 x 2 + y 2 =1的位置关系是   (    　) A.相交　     B.相切 C.相交或相切　    D.相离 解析　解法一:圆 x 2 + y 2 =1的圆心为(0,0),半径 r =1,则圆心(0,0)到直线 x - ky +1= 0的距离 d =   ,而   ≥ 1,∴ d ≤ 1= r ,因此直线与圆相切或相交,故 选C. 解法二:由   得( ky -1) 2 + y 2 =1,即( k 2 +1) y 2 -2 ky =0①. ∵ Δ =(-2 k ) 2 =4 k 2 ≥ 0,∴方程①有两个相同实数解或两个不同实数解,故直线 与圆相切或相交,故选C. 解法三:直线 x - ky +1=0过定点 M (-1,0),而定点 M (-1,0)在圆 x 2 + y 2 =1上,所以直 线 x - ky +1=0与圆 x 2 + y 2 =1相切或相交,故选C. 答案    C 考向二　圆与圆的位置关系 例5　两圆 C 1 : x 2 + y 2 -2 x -3=0, C 2 : x 2 + y 2 -4 x +2 y +3=0的位置关系是   (　　) A.相离　    B.相切　    C.相交　    D.内含 解析　解法一(几何法):把两圆的方程分别配方,化为标准方程是 C 1 :( x -1) 2 + y 2 =4, C 2 :( x -2) 2 +( y +1) 2 =2,所以两圆圆心分别为 C 1 (1,0), C 2 (2,-1),半径 r 1 =2, r 2 =   ,则圆心距| C 1 C 2 |=   =   , r 1 + r 2 =2+   , r 1 - r 2 =2-   ,故 r 1 - r 2 <| C 1 C 2 | < r 1 + r 2 ,所以两圆相交. 解法二(代数法):联立方程   解得     即方程 组有2组解,也就是说,两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.故选C. 答案    C 考向三　与圆有关的切线问题 例6    (2020届黑龙江哈三中第三次月考,6)过点 A (3,5)作圆( x -2) 2 +( y -3) 2 =1的 切线,则切线的方程为   (　　) A. x =3或3 x +4 y -29=0　    B. y =3或3 x +4 y -29=0 C. x =3或3 x -4 y +11=0　    D. y =3或3 x -4 y +11=0 解析　易知圆心坐标为(2,3),半径 r =1,当切线的斜率存在时,设切线的斜率 为 k ,则切线方程为 kx - y -3 k +5=0,由点到直线的距离公式可得   =1, 解得 k =   ,所以切线方程为3 x -4 y +11=0. 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x =1或 x =3,又因为点 A (3,5)在直线 x =3 上,所以过点 A (3,5)的圆的切线方程为 x =3或3 x -4 y +11=0,故选C. 答案    C 例7    (2020届安徽六安一中10月月考,13)已知圆 C 1 : x 2 + y 2 =1,圆 C 2 :( x -4) 2 + y 2 = 25,则两圆公切线的方程为 　　　     . 解析　由圆 C 1 : x 2 + y 2 =1知圆心 C 1 (0,0),半径 r 1 =1; 由圆 C 2 :( x -4) 2 + y 2 =25知圆心 C 2 (4,0),半径 r 2 =5. ∴| C 1 C 2 |=4= r 2 - r 1 ,∴两圆相切,且切点为(-1,0). 又两圆圆心的连线在 x 轴上,∴两圆公切线的方程为 x =-1. 答案     x =-1 例8    (2020届贵州六校10月联考,4)圆 x 2 + y 2 +4 x -2 y + a =0截直线 x + y -3=0所得 弦长为2,则实数 a 等于   (　　) A.2　    B.-2　    C.4　    D.-4 考向四　与圆有关的弦长问题 解析　由圆 x 2 + y 2 +4 x -2 y + a =0知其圆心 M (-2,1),半径 r =   ,而圆心 M (-2,1)到 直线 x + y -3=0的距离 d =   =2   ,所以有 d 2 +1 2 = r 2 ,即5- a =9,所以 a =-4,故选 D. 答案    D 方法1 　直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法 1.判断直线与圆的位置关系的方法:①代数法:将直线方程与圆的方程联立 得方程组,再将方程组转化为一元二次方程,由该方程解的情况判断直线与 圆的位置关系,这种方法具有一般性,适合判断直线与圆锥曲线的位置关 系,但是计算量较大;②几何法:圆心到直线的距离与圆的半径比较大小,即 可判断直线与圆的位置关系,这种方法计算量较小,但只能用于圆的问题 中. 2.圆与圆的位置关系,由交点个数,也就是利用方程组解的个数来判断,有时 得不到确切的结论,通常还是 从两圆的圆心距 d 与两圆的半径和、差的关 系入手进行判断 . 方法技巧 例1    (2019陕西四校联考,6)直线 ax - by =0与圆 x 2 + y 2 - ax + by =0的位置关系是   (　　) A.相交　    B.相切 C.相离　    D.不能确定 解析　解法一:将圆的方程化为标准方程得   +   =   ,∴圆心 坐标为   ,半径 r =   .∵圆心到直线 ax - by =0的距离 d =   =   = r ,∴直线与圆相切.故选B. 解法二:由   得 x 2 + y 2 =0,解得 x = y =0, 即方程组只有唯一的一组解,所以直线与圆相切,故选B. 答案    B 例2　已知圆 C 1 : x 2 + y 2 -2 mx +4 y + m 2 -5=0和圆 C 2 : x 2 + y 2 +2 x =0. (1)当 m =1时,判断圆 C 1 和圆 C 2 的位置关系; (2)是否存在实数 m ,使得圆 C 1 和圆 C 2 内含? 解析　(1)当 m =1时,圆 C 1 的方程为( x -1) 2 +( y +2) 2 =9, ∴圆心 C 1 (1,-2),半径 r 1 =3, 圆 C 2 的方程为( x +1) 2 + y 2 =1,易知圆心 C 2 (-1,0),半径 r 2 =1, ∴两圆的圆心距 d =   =2   , 又 r 1 + r 2 =3+1=4, r 1 - r 2 =3-1=2, 所以 r 1 - r 2 < d < r 1 + r 2 ,所以圆 C 1 和圆 C 2 相交. (2)圆 C 1 的方程可化为( x - m ) 2 +( y +2) 2 =9,故圆心 C 1 的坐标为( m ,-2),半径长为3. 假设存在实数 m ,使得圆 C 1 和圆 C 2 内含, 则圆心距 d =   <3-1, 即( m +1) 2 <0,此不等式无解. 故不存在实数 m ,使得圆 C 1 和圆 C 2 内含. 方法2 　求解与圆有关的切线和弦长问题的方法 1.求过圆上一点( x 0 , y 0 )的切线方程的方法:先求切点和圆心连线的斜率 k (假 设斜率存在,且不为零),由垂直关系知切线斜率为-   ,由点斜式方程可求切 线方程;若切线斜率不存在(此时 k =0),则切线的方程为 x = x 0 ;若切点和圆心 连线的斜率不存在,则切线方程为 y = y 0 . 2.求过圆外一点( x 0 , y 0 )的圆的切线方程的方法:①几何法:当斜率存在时,设 斜率为 k ,切线方程为 y - y 0 = k ( x - x 0 ),即 kx - y + y 0 - kx 0 =0,由圆心到直线的距离等于 半径,即可得到 k 的值,从而可得切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程 为 x = x 0 ;②代数法:当斜率存在时,设斜率为 k ,切线方程为 y - y 0 = k ( x - x 0 ),即 y = kx - kx 0 + y 0 ,代入圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ =0,求得 k 值,从而 得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为 x = x 0 . 3.圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为 r ,弦心距为 d ,弦长为 L ,则   = r 2 - d 2 ;②代数法:设直线与圆相交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )两点,联立直线与圆的方程 得   消去 y 后得到一个关于 x 的一元二次方程,从而求得 x 1 + x 2 , x 1 x 2 ,则 弦长| AB |=   ·   ( k 为直线的斜率) . 例3    (2020届广西南宁摸底,6)已知直线 l : y =   x + m 与圆 C : x 2 +( y -3) 2 =6相交 于 A , B 两点,若| AB |=2   ,则实数 m 的值等于   (　　) A.-7或-1　    B.1或7 C.-1或7　     D.-7或1 解析　由圆的方程可知,圆心坐标为(0,3),半径 r =   ,∵| AB |=2   ,∴   =   ,由勾股定理可知,圆心到直线的距离为   =2=   ,解得 m =-1或 m =7, 故选C. 答案    C   一题多解　由   得 x 2 +(   x + m -3) 2 =6, 即4 x 2 +2   ( m -3) x +( m -3) 2 -6=0. ∵直线 l 与圆 C 有两个交点 A , B ,∴ Δ =12( m -3) 2 -16( m 2 -6 m +3)>0,即 m 2 -6 m -15<0 (*), 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =   =   , ∴| AB |=   =     =2   =   =2   , 即- m 2 +6 m +15=8,解得 m =7或-1. 经检验 m =7或-1时,均满足(*)式. ∴ m =7或-1,故选C. 例4　已知点 P (   +1,2-   ), M (3,1),圆 C :( x -1) 2 +( y -2) 2 =4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长.     解析　由题意得圆心为 C (1,2),半径 r =2. (1)∵(   +1-1) 2 +(2-   -2) 2 =4,∴点 P 在圆 C 上. 又 k PC =   =-1,∴切线的斜率 k =-   =1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y -(2-   )= x -(   +1),即 x - y +1-2   =0. (2)∵(3-1) 2 +(1-2) 2 =5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线的斜率不存在时,直线方程为 x =3,即 x -3=0.又点 C (1,2)到直 线 x -3=0的距离 d =3-1=2= r , ∴直线 x -3=0是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y -1= k ( x -3),即 kx - y +1-3 k =0, 则圆心 C 到切线的距离 d =   = r =2, 解得 k =   .∴切线方程为 y -1=   ( x -3),即3 x -4 y -5=0. 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x -3=0或3 x -4 y -5=0. ∵| MC |=   =   , ∴过点 M 的圆 C 的切线长为   =   =1. 方法3 　解决对称问题的方法 1.中心对称 (1)点关于点对称:设点 P ( x 0 , y 0 ),对称中心为 A ( a , b ),则点 P 关于点 A 的对称点 为(2 a - x 0 ,2 b - y 0 ). (2)直线关于点对称问题的主要解法:在已知直线上取两点,再利用中点坐 标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或 者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求的直线方程. 2.轴对称 (1)点关于直线对称的问题 由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”. 利用“垂 直”“平分”这两个条件建立方程组,可求出对称点的坐标. 一般情形如 下: 设点 P ( x 0 , y 0 )关于直线 y = kx + b ( k ≠ 0)的对称点为 P '( x ', y '),则有   可求出 x '、 y '. (2)直线关于直线的对称问题 直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情 况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. 特殊地,点 P ( x 0 , y 0 )关于直线 x = a 的对称点为 P '(2 a - x 0 , y 0 );点 P ( x 0 , y 0 )关于直线 y = b 的对称点为 P '( x 0 ,2 b - y 0 ). 例5　已知直线 l :2 x -3 y +1=0,点 A (-1,-2),求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A '的坐标; (2)直线 m :3 x -2 y -6=0关于直线 l 的对称直线 m '的方程; (3)直线 l 关于点 A (-1,-2)对称的直线 l '的方程.   (1)设点 A '( x , y ),利用垂直平分列关于 x , y 的方程组,解方程组得点 A '的坐标. (2)在直线 m 上取一点 M (2,0),求出点 M 关于直线 l 的对称点 M '的坐标,再求出 直线 m 与 l 的交点 N 的坐标,从而由两点式求出直线 m '的方程. (3)利用相关点法求出直线 l '的方程. 解题导引    解析　(1)设 A '( x , y ), 由题意得   解得   ∴ A '   . (2)在直线 m 上取一点,如 M (2,0), 则 M (2,0)关于直线 l 的对称点必在 m '上. 设 M 的对称点为 M '( a , b ),则   解得   则 M '   . 易知 m 与 l 不平行,设 m 与 l 的交点为 N , 则由   得 N (4,3). 又∵ m '经过点 N (4,3), ∴由两点式得直线 m '的方程为9 x -46 y +102=0. (3)设 P ( x , y )为 l '上任意一点, 则 P ( x , y )关于点 A (-1,-2)的对称点为 P '(-2- x ,-4- y ), ∵ P '在直线 l 上,∴2(-2- x )-3(-4- y )+1=0, 化简得2 x -3 y -9=0,∴直线 l '的方程为2 x -3 y -9=0.