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- 2021-05-09 发布
吴忠中学 2019—2020 学年高二年级开学考试
数学试题（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项
中，有且只有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上）
1.已知集合 ，集合 ，则符合条件的集合 的子集个
数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列举出集合 中的运算，利用子集个数公式可得出结果.
【详解】 ， ，
因此，符合条件的集合 的子集个数为 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，解答的关键就是求出集合的元素个数，考查计算能
力，属于基础题.
2.若函数 的单调递增区间是 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将函数 的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的单调递增区间，即可得出实
数 的值.
【详解】 ，则函数 的单调递增区间为
{ }1,2,3A = ( ){ }, ,B x y x A x y A= ∈ − ∈ B
3 4 8 10
B
{ }1,2,3A = ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }, , 2,1 , 3,2 , 3,1B x y x A x y A= ∈ − ∈ =
B 32 8=
( ) 2f x x a= + )3, +∞ a
6 2 2− 6−
( )y f x=
a
( )
2 , 22
2 , 2
ax a x
f x x a ax a x
+ ≥ −= + =
− − < −
( ) 2f x x a= +
，
，解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的单调区间求参数，考查计算能力，属于基础题.
3.已知直线 ， ， ，若 且 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线平行与垂直求出实数 、 的值，进而可计算出 的值.
【详解】 ，则 ，解得 ， ，则 ，解得 .
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查根据两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.
4.已知 、 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用面面垂直的性质定理可判断 A 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断 B 选项的正
误；利用线面平行的性质定理可判断 C 选项的正误；利用线面平行和面面平行的性质定理可
判断 D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于 A 选项，若 ， ，则 与 平行或相交，A 选项错误；
对于 B 选项，若 ， ，则 ，B 选项正确；
,2
a − +∞
32
a∴− = 6a = −
1 : 2 1 0l x y+ − = 2 : 2 5 0l x my+ + = 3 : 3 1 0l nx y+ + = 1 2//l l 1 3l l⊥
m n−
10− 2− 2 10
m n m n−
1 2//l l
2 5
1 2 1
m= ≠ − 4m = 1 3l l⊥ 6 0n + = 6n = −
10m n− =
m n α β γ
α γ⊥ β γ⊥ //α β m α⊥ n α⊥ //m n
//m α //n α //m n //m α //m β //α β
α γ⊥ β γ⊥ α β
m α⊥ n α⊥ //m n
对于 C 选项，若 ， ，则 与 平行、相交或异面，C 选项错误；
对于 D 选项，若 ， ，则 与 平行或相交，D 选项错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟
练掌握相应的判定定理和性质定理．
5.函数 的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由偶函数排除 B、D, 排除 C.故选 A.
考点：函数的图象与性质．
6.已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，都有 ，当
时， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
由题意 ，故选 C．
//m α //n α m n
//m α //m β α β
π πln cos 2 2y x x = − < <
( )f x R x∈R ( ) ( )2f x f xπ+ =
( )0,x π∈ ( ) 2sin 2
xf x = 17
3f
π =
1
2
3
2 3
17 17( ) ( 6 ) ( ) ( ) 2sin 13 3 3 3 6f f f f
π π π π ππ= − = − = = =
7.各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥 的侧棱长为 ，
侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
因为侧棱长为 a 的正三棱锥 P﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，
三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正
方体的对角线，正方体的对角线长为： ；所以球的表面积为：4π =3πa2
故答案为 D．
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，
首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边
形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离
相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，
就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．
8.函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，
只需把 的图象上所有点（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据函数 的图象求出该函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数
的解析式，然后利用函数图象的平移变换可得出结果．
P ABC− a
22 aπ 22 aπ 23 aπ 23 aπ
3a
2
3
2 a
( ) ( )sinf x xω ϕ= +
2
πϕ < ( )y f x=
siny xω=
3
π
6
π
3
π
6
π
( )y f x=
【详解】由图象可知，函数 的最小正周期为 ， ，
， ， ，
由于函数 在 附近单调递减，则 ，
， ，则 ， ，所以，
，
因此，为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有点向左平移 个
单位长度.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数图象求函数解析式，以及三角函数图象变换，考查计算能力，
属于中等题.
9.在如图所示的空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是 、 、
、 ，给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分
别为（ ）
A. ①和② B. ①和③ C. ④和② D. ③和②
【答案】C
【解析】
【分析】
在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．
【详解】在坐标系中，标出已知的四个点，
( )y f x= 74 12 3T
π π π = × − =
2 2T
πω∴ = =
( ) ( )sin 2f x x ϕ∴ = + sin 2 03 3f
π π ϕ = × + =
2sin 03
πϕ ∴ + =
( )y f x=
3x
π= ( )2 23 k k Z
πϕ π π+ = + ∈
( )23 k k Z
πϕ π∴ = + ∈
2 2
π πϕ− < < 0k =
3
πϕ =
( ) sin 2 3f x x
π = +
( )y f x= sin 2y x=
6
π
O xyz− ( )0,0,2 ( )2,2,0
( )1,2,1 ( )2,2,2
根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，
故选：C.
【点睛】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．
10.已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点
.角 满足 ，则 的值为（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可得出 和 的值，分 和 两
种情况讨论，利用两角差的余弦公式可求得 的值.
【详解】 ， .
由任意角的三角函数的定义可得 ， .
当 时，
；
当 时，
.
α O x
3 4,5 5P − −
β ( ) 5sin 13
α β+ = cos β
56
65
− 16
65
16
65
56
65
− 56
65
16
65
−
cosα sinα ( ) 12cos 13
α β+ = ( ) 12cos 13
α β+ = −
cos β
( ) 5sin 13
α β+ = ( ) ( )2 12cos 1 sin 13
α β α β∴ + = ± − + = ±
3cos 5
α = − 4sin 5
α = −
( ) 12cos 13
α β+ = ( ) ( ) ( )cos cos cos cos sin sinβ α β α α β α α β α= + − = + + +
12 3 5 4 56
13 5 13 5 65
= × − + × − = −
( ) 12cos 13
α β+ = − ( ) ( ) ( )cos cos cos cos sin sinβ α β α α β α α β α= + − = + + +
12 3 5 4 16
13 5 13 5 65
= − × − + × − =
综上所述， 或 .
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数求值，涉及两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等
题.
11.已知直线 与圆 交于两点 ，且 为等边
三角形，则圆 的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
圆 方 程 可 化 为 圆 心 到 直 线 的 距 离
，故选 D.
12.对实数 和 ，定义运算“ ”： ，设函数
， ，若函数 的图象与 轴恰有两个公共点，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令 得 ，将问题转化为直线 与函数 的图象有两个交点，
并根据定义得出 的解析式，作出函数 的图象即可得出答案．
【详解】令 得 ，将问题转化为直线 与函数 的图象有两
个交点，
56cos 65
β = − 16
65
y ax= 2 2 2 2 2 0C x y ax y： + − − + = ,A B CAB
C
49π 36π 7π 6π
2 2 2( ) ( 1) 1x a y a− + − = − ⇒ ( ,1)C a
2
2
1
1
a
d
a
−
=
+
2
23 1 7 (7 1) 62
a a S π π−= ⇒ = ⇒ = − =
a b ⊗ , 1
, 1
a a ba b b a b
− ≤⊗ = − >
( ) ( ) ( )2 22f x x x x= − ⊗ − x∈R ( )y f x c= − x
c
]( 3, 2 1, 2
−∞ − ∪ −
]( 3, 2 1, 4
−∞ − ∪ − −
1 11, ,4 4
− +∞
3 11, ,4 4
− ∪ +∞
( ) 0f x c− = ( )f x c= y c= ( )y f x=
( )y f x= ( )y f x=
( ) 0f x c− = ( )f x c= y c= ( )y f x=
若 ，即 ，解得 .
若 ，即 ，解得 或 ..
.
作出函数 的图象如下图所示：
如图所示，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数的零点个数求参数，解题的关键就是作出函数的图象，考查数
形结合思想的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把正确答案填在题中横线上）
13.已知幂函数 的图象过点 ，则 _______．
【答案】
【解析】
试题分析：因为是幂函数，所以 ，得 ， ， .
( )2 22 1x x x− − − ≤ 22 3 0− − ≤x x
31 2x− ≤ ≤
( )2 22 1x x x− − − > 22 3 0x x− − > 1x < − 3
2x >
( )
2
2
32, 1 2
3, 1 2
x x
f x
x x x x
− − ≤ ≤∴ =
− − 或
( )y f x=
2c ≤ − 31 4c− < < − y c= ( )y f x=
c ( ] 3, 2 1, 4
−∞ − ∪ − −
( )f x k xα= ⋅ 1( ,2)2 k α+ =
0
12 ( )2
α= 1α∴ = − 0k α∴ + =
考点：幂函数的定义.
14.化简 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
通分，利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式可化简所求代数式.
【 详 解 】
.
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数值化简计算，涉及二倍角降幂公式的应用，考查计算能力，属于
中等题.
15.在平行四边形 中， ， ， 为 的中点.若 ，则
的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基底 、 表示向量 ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得 的长.
【详解】如下图所示：
是 的中点，四边形 为平行四边形， ，
2 2
1 1 1
cos 80 cos 10 cos20
− ⋅ =
8
1 cos40−
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 cos 10 sin 10
cos 80 cos 10 cos20 sin 10 cos 10 cos20 sin 10 cos 10 cos20
− − ⋅ = − ⋅ =
2 2
cos20 4 4 8
1 cos40sin 20 1 cos401 sin 20 cos20 22
= = = =− − ⋅
8
1 cos40−
ABCD 1AD = 60BAD∠ = E CD 1AC BE⋅ =
AB
1
2
AB AD BE AB
E CD ABCD 1
2BE BC CE AD AB∴ = + = −
，
， ，
，解得 .
故答案 ： .
【点睛】本题考查向量模的计算，选择合适的基底表示向量是解答的关键，考查了平面向量
数量积运算律的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
16.在函数 的图象上求一点 ，使 到直线 的距离最短，则 点的坐标为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设点 的坐标为 ，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得点 的坐
标.
【 详 解 】 设 点 的 坐 标 为 ， 则 点 到 直 线 的 距 离 为
，
当 时，即当 时， 取最小值，因此，点 的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线上到直线距离最小的点的坐标的求解，考查点到直线的距离公式和
二次函数的基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
17.平面向量 ， ， ，已知 ， .
为
AC AB AD= +
( ) 2 21 1 1
2 2 2AC BE AD AB AD AB AD AB AD AB ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ −
22 1 11 cos60 12 2AB AB= + − = 2
2 0AB AB∴ − =
0AB ≠
1
2AB =
1
2
24y x= P P 4 5y x= − P
1 ,12
P ( )2,4t t P
P ( )2,4t t P 4 5y x= −
( )22 24 4 5 2 1 44 4 5
17 17 17
t t tt td
− − − +− += = =
2 1 0t − = 1
2t = d P 1 ,12
1 ,12
( )3, 4a = − ( )2,b x= ( )2,c y= //a b a c⊥
（1）求向量 和向量 ；
（2）求 与 夹角和 .
【答案】（1） ， ；（2） 与 的夹角为 ， .
【解析】
【分析】
（1）利用共线向量的坐标表示可求得 的值，利用垂直向量的坐标表示可求得 的值，由此
可计算出向量 和向量 的坐标；
（2）计算出 的值，可求得 与 的夹角，利用向量模的坐标计算公式可求出 .
【详解】（1） ， ， ，且 ， ，
所以 ，解得 ，
因此， ， ；
（2） ，则 ，即 与 的夹角为 .
，因此， .
【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了向量夹角与模的计算，考查运
算求解能力，属于基础题.
18.已知圆 ，直线 .
（1）当 为何值时，直线与圆 相切.
（2）当直线与圆 相交于 、 两点，且 时，求直线的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
b c
b c a b+
82, 3b = −
32, 2c =
b c
2
π 25
3a b+ =
x y
b c
b c⋅ b c a b+
( )3, 4a = −
( )2,b x= ( )2,c y= //a b a c⊥
3 8
3 2 4 0
x
y
= −
× − =
8
3
3
2
x
y
= −
=
82, 3b = −
32, 2c =
2 8 32 03 2b c⋅ = − × =
b c⊥ b c
2
π
205, 3a b + = −
2
2 20 255 3 3a b + = + − =
2 2: 8 12 0C x y y+ − + = : 2 0l ax y a+ + =
a C
C A B 2 2AB =
3
4a = − 2 0x y− + = 7 14 0x y− + =
（1）将圆 的方程化为标准形式，得出圆 的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等
于半径，可计算出实数 的值；
（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公
式可求得实数 的值，进而可得出直线 的方程.
【详解】（1）圆 的标准方程为 ，圆心 的坐标为 ，半径长为 ，
当直线 与圆 相切时，则 ，解得 ；
（2）由题意知，圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，整理得 ，解得 或 .
因此，直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线
方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.
19.已知定义在 上的函数 是奇函数.
（1）求实数 的值，并求函数 的值域；
（2）若集合 为 值域，集合 ，集合
，求 .
【答案】（1） ，值域为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 利 用 奇 函 数 定 义 得 出 ， 化 简 计 算 可 求 得 实 数 的 值 ， 令
，用 表示 ，结合 可求出 的取值范围，即为函数 的值域；
（2）求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求出集合 .
的
的
C C
a
a l
C ( )22 4 4x y+ − = C ( )0,4 2
l C 2
2 4 2
1
a
a
+ =
+
3
4a = −
C l
2
22 22
ABd
= − =
2
2 4 2
1
ad
a
+= =
+
2 8 7 0a a+ + = 1a = − 7−
l 2 0x y− + = 7 14 0x y− + =
R ( ) 2
2 1
x
x
af x
−= +
a ( )f x
Q ( )f x { }2log , 1U y y x x= = <
1 , 2P y y xx
= = < −
( )U P Q
1a = ( )1,1− 11, 2
− −
( ) ( ) 0f x f x− + = a
2
2 1
x
x
ay
−= +
y 2x 2 0x > y ( )y f x=
U P ( )U P Q
【详解】（1）因为函数 是奇函数，则 ，
即
，解得 ， .
由 得 ， ，得 ，即 ，解得 .
因此，函数 的值域为 ；
（2）由于对数函数 为 上的增函数，
当 时， ，则 ，
，则 ，且 ，
因此， .
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了函数值域以及集合的混合运算，
考查计算能力，属于中等题.
20.已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 为菱形，且 ，
平面 平面 ， 、 分别是 、 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： ；
( ) 2
2 1
x
x
af x
−= +
( ) ( ) 0f x f x+ − =
( ) ( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 12 2 1
x xx x x x x
x x x xx x
aa a a a af x f x
−−
− −
−− − − − + ⋅ −+ − = + = + =+ + + ++
( ) ( )1 2 1
1 02 1
x
x
a
a
− ⋅ +
= = − =+ 1a = ( ) 1 2
2 1
x
xf x
−∴ = +
1 2
2 1
x
xy
−= +
12 1
x y
y
−= + 2 0x >
1 01
y
y
− >+
1 01
y
y
− <+ 1 1y− < <
( )y f x= ( )1,1−
2logy x= ( )0, ∞+
0 1x< < 2 2log log 1 0y x= < = { } ( )2log , 1 ,0U y y x x= = < = −∞
1 1, 2 ,02P y y xx
= = < − = −
1, 2U P = −∞ − ( )1,1Q = −
( ) 11, 2U P Q = − −
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 1 60A AC∠ =
1 1A ACC ⊥ ABC M N AB 1CC
//CM 1A BN
1AC BN⊥
（3）求 与平面 所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 、 ，证明四边形 为平行四边形，可得出
，再利用线面平行的判定定理即可得出结论；
（2）取 的中点 ，连接 、 、 ，证明出 平面 ，进而可证明出
；
（3）连接 ，证明出 平面 ，可得出 与平面 所成的角为
，通过解 可得出 的值.
【详解】（1）如图，连接 交 于点 ，连接 、 ，则 为 的中点，
在三棱柱 中， 且 ，
、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
为 的中点， 且 ，则四边形 为平行四边形，
， 平面 ， 平面 ，因此， 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 、 ，
四边形 为菱形，则 ，
、 分别为 、 的中点， ，则 .
为等边三角形， 为 的中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
， 平面 ，
1BA 1 1A ACC
45
1AB 1A B E ME NE CMEN
//CM EN
AC F 1AC BF NF 1AC ⊥ BFN
1AC BN⊥
1A F AF ⊥ 1 1AAC C 1BA 1 1AAC C
1BA F∠ 1A BF∆ 1BA F∠
1AB 1A B E ME NE E 1AB
1 1 1ABC A B C− 1 1//BB CC 1 1BB CC=
M E AB 1AB 1//ME BB 1
1
2ME BB=
N 1CC //EM CN∴ EM CN= CMEN
//CM EN∴ CM ⊄ 1A BN EN ⊂ 1A BN //CM 1A BN
AC F 1AC BF NF
1 1AAC C 1 1AC AC⊥
F N AC 1CC 1//FN AC 1FN AC⊥
ABC∆ F AC BF AC∴ ⊥
1 1A ACC ⊥ ABC 1 1A ACC ∩ ABC AC= BF ⊂ ABC
BF∴ ⊥ 1 1A ACC
1AC ⊂ 1 1A ACC 1AC BF∴ ⊥
BF FN F= 1AC∴ ⊥ BFN
平面 ， ；
（3）由（2）知， 平面 ，所以，直线 与平面 所成的角为 ，
， ，则 为等边三角形，所以， ，
同理可得 ， ，
平面 ， 平面 ， ，
则 为等腰直角三角形，且 ，
因此， 与平面 所成角 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用线面垂直证明线线垂直，以及
线面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
21.已知线段 的端点 的坐标是 ，端点 在圆 上运动.
（Ⅰ）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）设圆 与曲线 的两交点为 ，求线段 的长；
（Ⅲ）若点 在曲线 上运动，点 在 轴上运动，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ） ;（Ⅲ） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，根据 点坐标，和点 是
为
BN ⊂ BFN 1AC BN∴ ⊥
BF ⊥ 1 1A ACC 1BA 1 1A ACC 1BA F∠
1AA AC= 1 60A AC∠ = 1A AC∆
1
3
2A F AC=
3
2BF AC= 1A F BF∴ =
BF ⊥ 1 1A ACC 1A F ⊂ 1 1A ACC 1BF A F∴ ⊥
1A BF∆ 1 45BA F∠ =
1BA 1 1A ACC 45
AB B (6,5) A 2 2
1 :( 4) ( 3) 4C x y− + − =
AB P 2C
1C 2C M N、 MN
C 2C Q x AQ CQ+
2 2( 5) ( 4) 1x y− + − = 14
2 5 2 3−
P ( , )x y A 0 0( , )x y B P
线段 的中点，得 ， ，再由点 在圆 上运动，求得点 的轨迹
方程，进而可求得点点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）由两圆的方程，相减得到直线 的方程，根据圆的弦长公式，即可求解 的长；
（Ⅲ）根据圆的性质得 ，由 为 关于 轴的对称点，进而
可求得 的最小值，即可得到 的最小值．
试题解析：
（Ⅰ）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由于点 的坐标为 ，
且点 是线段 的中点，所以 ，
于是有 ， ①
因为点 在圆 上运动，
所以点 的坐标满足方程
即： ②
把①代入②，得
整理，得
所以点 的轨迹 的方程为 .
（Ⅱ）圆 与圆 的方程
相减得：
由圆 的圆心为 ，半径为 1，且 到直线
的距离
则公共弦长
（Ⅲ） 是以 为圆心，半径 的圆
AB 0 2 6x x= − 0 2 5y y= − A 1C A
P 2C
MN MN
QA QC+ ≥ 1 2 3QC QC+ − 3C 1C x
QA QC+ AQ CQ+
P ( ),x y A ( )0 0,x y B ( )6,5
P AB 0 6
2
xx
+= 0 5
2
yy
+=
0 2 6x x= − 0 2 5y y= −
A ( ) ( )2 2
1 : 4 3 4C x y− + − =
A ( ) ( )2 24 3 4x y− + − =
( ) ( )2 2
0 04 3 4x y− + − =
( ) ( )2 22 6 4 2 5 3 4x y− − + − − =
( ) ( )2 25 4 1x y− + − =
P 2C ( ) ( )2 25 4 1x y− + − =
( ) ( )2 2
1 : 4 3 4C x y− + − = ( ) ( )2 2
2 : 5 4 1C x y− + − =
2 2 19 0x y+ − =
( ) ( )2 2
2 : 5 4 1C x y− + − = ( )5,4 ( )5,4
2 2 19 0x y+ − =
2 2
10 8 19 2
42 2
d
+ −= =
+
2 2 1 142 2 1 8 2MN r d= − = − =
1C ( )1 4,3C 1 2r =
是以 为圆心，半径 的圆
所以 ①
当且仅当 在线段 且 在线段 上时，取等号.
设 为 关于 轴的对称点
则 代入①式得：
当且仅当 共线时，取等号.
所以 的最小值为 .
点睛：本题考查了圆的标准方程求解、直线与圆的位置关系等知识点的应用，此类为解答的
关键在于熟记圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系的判定与应用，同时注意数形
结合法与转化思想在解题中的合理运用．
22.已知向量 ， 设函数 ．
（1）求 的值域；
（2）设函数 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像， 若不等式
有解，求实数 的取值范围．
2C ( )2 5,4C 2 1r =
1 1QA QC QC r+ ≥ − 2 2 1 2 3QC r QC QC+ − = + −
A 1QC C 2QC
( )3 4, 3C − ( )1 4,3C x
1 3QC QC=
3 2 3QA QC QC QC+ ≥ + − 2 3 3 5 2 3C C≥ − = −
2 3C Q C、 、
AQ CQ+ 5 2 3−
9(sin ,1), (sin ,cos )8a x b x x= = − [ ]( ) , 0,f x a b x π= ⋅ ∈
( )f x
( )f x
2
π
( )h x
( )( ) sin 2 0f x h x x m+ + − < m
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量的数量积和三角形函数的性质即可求出值域；
（2）先求出 h（x），由不等式 f（x）+h（x）+sin2x﹣m＜0 有解，转化为 m＞f（x）+h（x）+sin2x，
根据二次函数的性质即可求出．
【详解】解：（1）
，
的值域为
（2） 函数 ， 的图像向左平移 个单位长度后得到函
数 的图像，
， ，
依题意，不等式 在 有解，
设
，
令 ，
则
函数 的值域为 .
17 1,8 8
−
9 ,4
− +∞
( ) 2 2 29 9 1sin cos 1 cos cos cos cos8 8 8f x x x x x x x= + − = − + − = − + −
( ) 21 1cos 2 8f x x ∴ = − − +
[ ] ( )17 10, 1 cos 1 8 8x x f xπ∈ ∴− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤
( )f x∴ 17 1,8 8
−
( ) 2 1cos cos 8f x x x= − + − [ ]0,x π∈
2
π
( )h x
( ) 2 21 1cos cos sin sin2 2 8 8h x x x x x
π π ∴ = − + + + − = − − − ,2 2x
π π ∈ −
( ) ( ) sin2m f x h x x> + + 0, 2x
π ∈
( ) ( ) 5sin2 cos sin sin24y f x h x x x x x= + + = − − +
52sin cos cos sin , 0,4 2x x x x x
π = + − − ∈
[ ]cos sin 2cos , 0, 1,14 2t x x x x t
π π = − = + ∈ ∴ ∈ −
[ ]2
2 1 1 , 1,14 2y t t t t = − + − = − − ∈ −
∴ ( ) ( ) sin2y f x h x x= + + 9 ,04
−
故实数 的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查函向量 数量积，正余弦函数的单调性、定义域和值域，二次函数的
性质，不等式成立的问题，属于中档题．
的
∴ min
9
4m y> = − m 9 ,4
− +∞