海南省三亚市华侨学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 13页

三亚华侨学校 2019-2020 学年度第一学期高一年级数学科期中考 考试试卷 一、选择题（本题共 12 题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1.下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A. 一切很大的数 B. 好心人 C. 漂亮的小女孩 D. 方程 的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】 都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合. 【详解】A. 一切很大的数 B. 好心人 C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除； D. 方程 的实数根为 ，可以构成集合. 故选： 【点睛】本题考查了能否构成集合，属于简单题型. 2.已知全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用补集的定义求解即可. 【详解】全集 ，集合 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 3.设集合 A={x|x+2=0}，集合 B={x|x2﹣4=0}，则 A∩B=（　　） A. {﹣2} B. {2} C. {﹣2，2} D. ∅ 【答案】A 2 1 0x − = , ,A B C 2 1 0x − = ±1 D { }U 1,2,3,4,5,6,7= { }A 1,3,5,6= U A = { }1,3,5,6 { }2,3,7 { }2,4,7 { }2,5,7 { }U 1,2,3,4,5,6,7= { }A 1,3,5,6= { }2,4,7U A = 【解析】 由 A 中的方程 x+2=0，解得 x=﹣2，即 A={﹣2}； 由 B 中的方程 x2﹣4=0，解得 x=2 或﹣2，即 B={﹣2，2}， 则 A∩B={﹣2}． 4.全称命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 试题分析：由题易知其否定命题为 ， ，故选 C． 考点：逻辑命题 5.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A. B. 所有菱形的 条边都相等 C. 若 为偶数，则 D. 是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断 是全称量词命题，再判断 为假命题， 为真命题得到答案. 【详解】四个选项中 是全称量词命题 对于 ： 当 时，不成立，为假命题. 对于 ：根据菱形定义知：所有菱形的 条边都相等，为真命题. 故选： 【点睛】本题考查了全称量词命题和命题的真假，意在考查学生的推断能力. 6.设集合 ， ，那么“ ，或 ”是“ ”的 （ ） x R∀ ∈ 2 5 4x x+ = x R∃ ∈ 2 5 4x x+ = x R∀ ∈ 2 5 4x x+ ≠ x R∃ ∈ 2 5 4x x+ ≠ x R∃ ∈ 2 5 4x x+ ≠ 2, 2 1 0x R x x∀ ∈ + + > 4 2x x∈N π AB A B AB A 2, 2 1 0x R x x∀ ∈ + + > 1x = − B 4 B { }2M x x= > { }3P x x= < x M∈ x P∈ x M P∈  A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算 或 的集合与 的集合，根据范围大小得到答案. 【详解】集合 ， ， ，或 对应集合为 对应集合为 所以“ ，或 ”是“ ”的必要不充分条件. 故选： 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力. 7.设 x>0，那么 有（ ） A. 最大值 1 B. 最小值 1 C. 最大值 5 D. 最小值 【答案】A 【解析】 试题分析： , ,当且仅当 即 时取得等号． ．故 A 正确． 考点：基本不等式． 8.下述三个事件按顺序分别对应三个图象，正确的顺序是（ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出 发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速. x M∈ x P∈ x M P∈  { }2M x x= > { }3P x x= < x M∈ x P∈ R x M P∈  { }2 3x x< < x M∈ x P∈ x M P∈  A 13 xx − − 5− 0x > 1 12 2x xx x ∴ + ≥ ⋅ = 1 xx = 1x = 1 12, 3 3 2 1x xx x ∴− − ≤ − ∴ − − ≤ − = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据时间和离开家距离的关系进行判断．根据回家后，离家的距离又变为 0，可判断（a）的 图象开始后不久又回归为 0；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变 化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快． 【详解】（1）离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为 ，故应先 选图象 ； （2）骑着车一路以常速行驶，此时为递增的直线，在途中遇到一次交通堵塞，则这段时间与 家的距离必为一定值，故应选图象 ； （3）我出发后，心情轻松，缓慢行进，后来为了赶时间开始加速，其距离与时间的关系为递 增，且增加得越来越快，故应选图象 ． 故选： 【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化 的趋势，找出关键的图象特征，对 3 个图象进行分析，即可得到答案． 9.一个偶函数定义在区间 上，它在 上的图象如图，下列说法正确的是（ ） 【 abc bac cab acb 0 c a b C [ ]7,7− [ ]0,7 A. 这个函数仅有一个单调增区间 B. 这个函数在其定义域内有最大值是 7 C. 这个函数有两个单调减区间 D. 这个函数在其定义域内有最小值是-7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已有图像和偶函数性质画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】根据函数图像和偶函数性质得到函数图像： 由图像可知： 这个函数有三个单调增区间； 这个函数有三个单调减区间； 这个函数在其定义域内有最大值是 ； 这个函数在其定义域内最小值不是 ． 故选： 【点睛】本题考查了函数的图像，单调性，最值，意在考查学生对于函数图像的应用. 10.已知集合 ， ，则 为（ ） A. 或 B. 或 7 7− B { }2| 3 28 0M x x x= − − ≤ { }2| 6 0N x x x= − − > M N∩ { | 4 2x x− ≤ < − 3 7}x< ≤ { | 4 2x x− < ≤ − 3 7}x≤ < C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合 ， ， 根据集合交集的定义求解即可. 【详解】∵由 ， 所以 ， 因为 ， 所以 或 ， ∴ 或 或 ． 故选 ． 点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是 将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集 合. 11.函数 在区间 上为减函数，则 取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 a 取值讨论是否为二次函数，然后根据二次函数的性质建立不等关系，最后将符合条件 的求并集． 详解】当 a＝0 时，f（x）＝﹣2x+2，符合题意 当 a≠0 时，要使函数 f（x）＝ax2+2（a﹣1）x+2 在区间（﹣∞，4]上为减函数 的 【 { | 2x x ≤ − 3}x > { | 2x x < − 3}x ≥ { }2| 3 28 0M x x x= − − ≤ { }2| 6 0N x x x= − − > { }2| 3 28 0M x x x= − − ≤ { }| 4 7M x x= − ≤ ≤ { }2| 6 0N x x x= − − > { | 2N x x= < − 3}x > { }| 4 7 { | 2M N x x x x∩ = − ≤ ≤ ∩ < − 3}x > { | 4 2x x= − ≤ < − 3 7}x< ≤ A M N ( ) ( )2 2 1 2f x ax a x= + − + ( ),4−∞ a 10 5a< ≤ 10 5a≤ ≤ 10 5a≤ < 1 5a > ∴ ⇒0＜a 综上所述 0≤a 故选：B． 【点睛】本题主要考查了已知函数在某区间上的单调性求参数 a 的范围的问题，以及分类讨 论的数学思想，注意二次项系数为 0 的讨论，属于易错题． 12.设奇函数 在 上是增函数，且 ，若对所有的 及任意的 都满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算函数 的最大值为 ，得到 恒成立，得到不等式 ，计算得 到答案. 【详解】奇函数 在 上是增函数，则 恒成立，即 恒成立 将 看作 为变量，定义域为 的函数，则函数最值一定在端点上 即 解得 或 或 故选： 【点睛】本题考查了恒成立问题，将 看作 为变量的函数是解题的关键. 二、填空题(本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.) 13.函数 的定义域是_________. 0 1 4 a a a  − ≥ ＞ 1 5 ≤ 1 5 ≤ ( )f x [ ]1,1− ( )1 1f − = − [ ]1,1x∈ − [ ]1,1a∈ − ( ) 2 2 1f x t at≤ − + t [ ]2 2− , 1 1,2 2  − −   { }, 2 0( ] [2, )∞ − ∪ ∪ +∞ { }1 1, 0( ] [ ,2 2 )∞ − ∪ ∪ +∞ ( )f x 1 2 2 0t at− ≥ 2 2 2 0 2 0 t t t t  − ≥  + ≥ ( )f x [ ]1,1− ( )max (1) ( 1) 1f x f f= = − − = ( ) 2 2 1f x t at≤ − + 2 21 2 1 2 0t at t at≤ − + ∴ − ≥ 2 2y t at= − a [ ]1,1− 2 2 2 0 2 0 t t t t  − ≥  + ≥ 2t ≥ 2t ≤ − 0t = C 2 2y t at= − a 2 2y x= − 【答案】 【解析】 【分析】 直接计算 得到答案. 【详解】函数 的定义域满足： 或 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的定义域，属于简单题型. 14.若函数 ，则 在 上的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 变换得到 ，计算最大值和最小值得到答案. 【详解】 ， 故 在 上的值域为 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力. 15.若函数 满足 ，则 的解析式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 设 ，带入化简得到 得到答案. 【详解】 ，设 代入得到 故 的解析式是 故答案为： ( ), 2 2, −∞ − +∞  2 2 0x − ≥ 2 2y x= − 2 2 0 2x x− ≥ ∴ ≥ 2x ≤ − ( ), 2 2, −∞ − +∞  ( ) 2 4 6f x x x= + + ( )f x [ ]3,0− [ ]2,6 ( ) 2( 2) 2f x x= + + ( ) 2 24 6 ( 2) 2f x x x x= + + = + + ( ) ( )max min(0) 6, ( 2) 2f x ff fx= = = − = ( )f x [ ]3,0− [ ]2,6 [ ]2,6 ( )f x ( )3 2 9 8f x x+ = + ( )f x ( ) 3 2f x x= + 3 2t x= + ( ) 3 2f t t= + ( )3 2 9 8f x x+ = + 3 2t x= + ( ) 3 2f t t= + ( )f x ( ) 3 2f x x= + ( ) 3 2f x x= + 点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握. 16.已知奇函数 f(x)在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为 8，最小值为－ 1，则 f(6)＋f(－3)的值为________． 【答案】9 【解析】 由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1， 因为 f(x)是奇函数，所以 f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9. 答案：9. 三、解答题(本题共 6 题，共 70 分.解答题应写出文字说明，证明过程或验算过程.) 17.设 是小于 的正整数 ， .求 . 【答案】 ， ， ， . 【解析】 【分析】 先计算集合 ，再利用集合运算法则计算得到答案. 【详解】 ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了集合的运算，意在考查学生对于集合运算的掌握情况. 18.已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－mx＋2＝0}，若 A 是 B 的必要不充分条件， 求实数 m 的取值范围． 【答案】－2 ∴ − > ( )f x ( )0,1 20.已知 ，求 的最小值. 【答案】 【解析】 【分析】 变换得到 化简利用均值不等式计算得到答案. 【详解】 当 即 时等号成立. . 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到 是解题的 关键. 21.如图所示，动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的 材料总长是 30m，那么宽 （单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间 熊猫居室的最大面积是多少？ 【答案】当 时， 【解析】 【详解】 ，当 时， 22.若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 . 【解析】 【分析】 当 时，不等式是一次不等式，检验 m 的值是否符合题意，当 ，且 0, 0, 2 1a b a b> > + = 1 1 a b + 3 2 2+ 21 21 a b a b a b a b + +++ = 2 2 31 1 2a b a b a b b a a b a b + ++ = + ++ = 23 2 b a a b ≥ + ⋅ 3 2 2= + 2b a a b = 2 22 1, 2a b −= − = min 1 1 3 2 2a b  ∴ + = +   21 21 a b a b a b a b + +++ = x 5x = 37.5y = 30 3 2 xy x −= ⋅ 5x = 37.5y = ( ) ( )2 22 3 3 1 0m m x m x− − − − − < x∈R m 1( ,3]5 − 2 2 3 0m m− − = 1m ≠ − 3m ≠ 时，不等式是二次不等式，不等式恒成立需满足 即可.两 种情况求并集. 【详解】注意到方程 的两根分别为－1 和 3，于是讨论如下. 当 时，原不等式变为 ，显然对任意 不会恒成立，所以 不适合 题意. 当 时，原不等式变 ，显然对任意 恒成立，所以 适合题意. 当 ，且 时，依题意知应满足 （满足前提条件）. 综上知，所求实数 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查了分类讨论的思想，二次不等式恒成立问题，属于中档题. 为 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0 3 4 2 3 0 m m m m m  − − <∆ = − + − − < 2 2 3 0m m− − = 1m = − 4 1 0x − < x R∈ 1m = − 3m = 1 0− < x R∈ 3m = 1m ≠ − 3m ≠ ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0 3 4 2 3 0 m m m m m  − − <∆ = − + − − < 1 3 1 31 535 m mm − < <⇒ ⇒ − < <− < < m 1 ,35  −  