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- 2021-05-09 发布
课程标题
高考第一轮复习——三角函数的图象与性质
一、学习目标：
1. 能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像。
2. 通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质。
3. 理解函数的图像性质及其图像的变换。
4. 能利用三角函数的图像解决简单的实际问题。
二、重点、难点：
重点：（1）掌握三角函数（y=sinx， y=cosx， y=tanx）的图像性质及其简单的应用。
（2）理解函数的图像及其性质。
难点：三角函数图像的应用
三角函数的图像与性质
知识要点解析：
一、三角函数的图像与性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图像
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间：
［
减区间：
增区间：
减区间：
在开区间：
上是增函数。
对称性
对称轴方程：
直线
对称中心坐标：
对称轴方程：
直线
对称中心坐标：
对称中心坐标：
注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（这五个点可作出草图；
（2）三角函数线的概念：
二、函数的图像与性质（
1. 图像：利用“五点法”作函数的图像。令，然后列表、描点、连线。
2. 性质：
（1）定义域：
（2）值域：，（当；
当）
（3）周期性：
（4）奇偶性：是奇函数
是偶函数
（5）单调性：在区间上递增，
在区间上递减。
（6）对称性：对称轴方程：
三、函数+ 的图像变换
变换I：振幅变换周期变换相位变换
（1）y=sinx图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（01）或缩短（00，A>0，的图像如图，求函数f（x
）的解析式。
2. 已知函数；
（1）当x时，求函数的值域。
（2）求图像上距原点最近的对称中心坐标。
（3）若角的终边不共线，且。
思路分析：1. 根据函数图像，求出A=3，的值，由当x=时，y=0得出的范围从而求的值。
2. （1）化简函数式为，然后求其值域。
（2）由确定图像上距原点最近的对称中心坐标。
（3）由角的终边不共线，且的值。
解题过程：1. 由图像知：A=3，，又，故函数的解析式为。
2. （1），当x时，，
（2）由，即图像上距原点最近的对称中心坐标是
（3）由已知得：又不共线得：，
解题后的思考：求解函数的解析式问题时，关键是确定
这四个量，根据函数的最值确定A， 的值，由函数的周期确定的值，较难确定的是的值。根据“五点法”作图原理知：在一个周期内，图像上升时与x轴的第一个交点满足：；第二个点是图像的最高点，满足：；第三个点是图像下降时与x轴的交点，满足：；第四个点是图像的最低点，满足：；第五个点满足：。由此确定的值（同时注意已知条件中的的取值范围）。
例6. 实际应用
已知某海滨浴场的海浪的高度y米是时间t（0（单位：时）的函数，记作：
下表是某日各时浪高的数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
1.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=
（1）求函数y=的最小正周期T，振幅A及函数解析式。
（2）依据规定：当海浪的高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放，请根据（1）中的结论判断一天内的上午8：00到晚上20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？
思路分析：由表中的数据可以得出：周期T=12，从而求出的值，再由表中的数据建立A，b的关系式，则可求出函数解析式。由y>1求出时间t的取值范围，进而确定冲浪的时间。
解题过程：由表中的数据得：T=12，故=，
由t=0时，y=1.5得：A+b=1.5， 由t=3时，y=1.0得：b=1.0，
故函数解析式是
由，
，令 =0，1，2得：
故一天内的上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者进行运动，即上午9：00到下午的15：00。
解题后的思考：本题考查三角函数的实际应用，解题关键是提炼和归纳已知（或图表）中的信息，从而锻炼自己处理数据信息的能力。