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- 2021-05-09 发布
理科数学
时间： 120 分钟 分值： 150 分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数的导数为( )
A． B．
C． D．
2.用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
A．，都能被5整除 B．，都不能被5整除
C．不能被5整除 D．，有1个不能被5整除
3.定积分的值为（ ）
A．1 B.ln2 C. D..
4.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )
A．当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立
C.当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立
5.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
6. 已知三次函数在上是
增函数，则的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．以上皆不正确
7．设，若，则的值分别为（ ）
A．1，1，0，0 B．1，0，1，0 C．0，1，0，1 D．1，0，0，1
8．已知抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数有极大值，但无极小值 B．函数有极小值，但无极大值
C．函数既有极大值又有极小值 D．函数无极值
10.函数（ ）
A．在上单调递减 B．在和上单调递增
C．在上单调递增 D．在和上单调递减
11. 已知则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，
，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在相应横线上）
13.由与直线所围成图形的面积为 ．
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为 ．
15．函数在区间上的最大值为3，最小值为-29，则，的值分别为 ．
16. 函数在区间内单调递减，则的取值范
围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（10分）一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?
18.（12分）已知曲线 在点处的切线平行直线，且点在第三象限,
（1）求的坐标；（2）若直线 , 且直线也过切点 ,求直线的方程.
19.（12分）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少?
20.（12分）已知数列，首项，前n项和满足.
(1)求出，并猜想的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.
21.（12分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为，，则当为多少时，银行可获得最大收益？
22.（12分）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若在[1，e](e＝2.71828…)上存在一点，使得≤0成立，求的取值范围.
1-12选择题ABBDA CDABB CC
13. 9 14. 61 15. 2,3 16.
17.解:∵当时,; 当时,.
∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程
=(米)
18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限,
∴切点P0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为即.
19.
20.
21.解：由题意，存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，银行应支付的利息，
设银行可获收益为，则，
由于，则，即，得或．
因为，时，，此时，函数递增；
时，，此时，函数递减；
故当时，有最大值，其值约为0.164亿．
22.解：(1)函数f(x)＝x－aln x＋，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－－＝＝，x∈(0，＋∞)，
①当1＋a≤0，即a≤－1时，
在(0，＋∞)上总有f ′(x)≥0，
所以，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
②当1＋a>0时，即a>－1时，在区间(0,1＋a)上f′(x)<0，在区间(1＋a，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0,1＋a)单调递减，在(1＋a，＋∞)单调递增.
(2)在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)≤0成立，
即函数f(x)＝x－aln x＋在[1，e]上的最小值不大于0，
由(1)知，当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)＝1＋1＋a≤0，得a≤－2.
当a>－1时：
①当1＋a≥e，即a≥e－1时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)的最小值是f(e)，
由f(e)＝e＋－a≤0可得a≥，
因为>e－1，所以a≥.
②当1＋a≤1，即a≤0时，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)的最小值是f(1)，有f(1)＝1＋1＋a≤0，得a≤－2，这与a>－1矛盾，
③当1<1＋a2，此时f(1＋a)≤0不成立.
综上所述，所求a的取值范围是a≤－2或a≥.