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- 2021-05-09 发布
母题十 二项式定理
【母题原题1】【2018天津，理10】
在的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
【母题原题2】【2016天津，理10】
的展开式中x2的系数为__________．(用数字作答)
【答案】
【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为．
【母题原题3】【2015天津，理12】在 的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．
【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查．
【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下三步：
第一步：首先求出二项展开式的通项
展开式通项为；
第二步：根据已知求
令可得：，
第三步：得出结论
的系数为：．
【方法总结】
1．熟记二项式定理及通项
（1）定理
公式叫做二项式定理．
（2）通项
为展开式的第项．
2．活用二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即．
（2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当
时，二项式系数是递减的．
当是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值． 学
当是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和
的展开式的各个二项式系数的和等于，即．
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即．学
3．求展开式系数最大项：如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出来，即得．
4．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．
5．若，则：
展开式中各项系数之和为，
奇数项系数之和为，
偶数项系数之和为．
6．某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与的取值有关，而二项式系数与的取值无关．
学
1．【2018天津耀华一模】在展开式所得的的多项式中，系数为有理数的项有（ ）
A．16项 B．17项 C．24项 D．50项
【答案】B
【解析】展开式的通项为，其中r=0，1，2…100，
要使系数为有理数则需要r是6的倍数，
∴r=0，6，16，18，…96共17个值，
故系数为有理数的项有17项．
本题选择B选项．
【名师点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
2．【2018江西六校联考】已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】D
3．【2018北京海淀模拟】二项式的展开式的第二项是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据展开式通项可得：
4．【2018广东阳揭二模】已知的展开式中常数项为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．
详解： 展开式的通项公式为： ，
令可得： ，结合题意可得： ，即．本题选择C选项．
【名师点睛】
本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
5．【2018华大新高考联盟4月卷】展开式中除—次项外的各项系数的和为（ ）
A．121 B． C．61 D．
【答案】B
【解析】因为展开式中—次项系数为
所以展开式中除—次项外的各项系数的和为，选B．
【名师点睛】 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．
6．【2018河北衡水信息卷三】已知，，若，则在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．【2018湖北荆州三模】已知，若，则
A．−5 B．−20 C．15 D．35
【答案】A
【解析】在中，令得，
∴．∴．又展开式的通项为
，∴．选A．
8．【2018全国名校联盟（五）】已知的展开式的系数和比的展开式系数和大，则的展开式中含有的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取则的展开式的系数和为，同理，在的展开式中令，则的展开式系数和为，故，
则的展开式中含有的项是第六项： ，故选．
9．【2018天津三模】设，则 __________．
【答案】211
【名师点睛】本题考查二项式定理、赋值法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．
10．【2018天津市十二校二模】若（其中），则的展开式中的系数为__________．
【答案】280
【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果．
详解：因为 ，所以，
展开式的通项为令得所以，的展开式中的系数为，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．
11．【2018天津部分区期末考试】在的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
【答案】240
12．【2018天津一中模拟三】的展开式中含的项的系数是__________．
【答案】128
【解析】∵的展开式的通项公式是，且，∴，当时， ，∴的展开式中含的项的系数是，故答案为128．
13．【2018天津一中模拟五】已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是__________．学 --
【答案】
【解析】试题分析：由题意可得：，
所以，令，所以展开式中含
项的系数是10．
14．【2018天津市耀华模拟（三）】二项式的展开式中的常数项为_________．
【答案】-160
【解析】二项式的通，项为，令，则，，故正确答案为．
15．【2018河南郑州模拟】若的展开式中的系数为，则实数的值为_______．
【答案】．
【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．
16．【2018天津滨海新区模拟】在二项式的展开式中，含的项的系数是______
【答案】
【解析】分析：先求得二项展开式的通项公式，再令的幂指数等于7，求得r的值，即可求得含项的系数值．
详解：二项式的展开式的通项公式为，令
，解得，可得展开式中含项的系数是，故答案是-5．
【名师点睛】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为7求得r，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式．
17．【2018河北衡水金卷调研（五）】已知函数，为的导函数，则的展开式中项的系数是__________．
【答案】-540