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- 2021-05-09 发布
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鹤壁高中2022届高一年级第一次段考数学
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.）
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，由此能求出．
【详解】∵全集，集合，
∴，∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查集合、并集、补集的运算等基本知识，体现运算能力、逻辑推理等数学核心素养．
2.若的定义域是，则函数的定义域是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的定义域为可得且，解得的取值范围即为所求函数的定义域．
【详解】由函数的定义域为得，
解得，
所以函数的定义域为．
故选．
【点睛】求该类问题的定义域时注意以下结论：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
3.已知函数，则的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.
【详解】令,则，所以
即 .
【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.
4.设＜b,函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。
5.定义集合A、B的一种运算：，若，
，则中的所有元素数字之和为
A. 9 B. 14 C. 18 D. 21
【答案】B
【解析】
【详解】因为由定义可知，A*B={2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素数字之和为：14
故答案为B
6.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的定义域以及单调性可得关于的不等式组，由此即可解得的范围．
【详解】由已知可得，解得，
即的取值范围是，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法，解抽象不等式的关键是利用单调性把函数值关系转化为自变量关系，属于中档题.
7.已知，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判断一元二次函数开口朝上，对称轴在区间内，即可求出值域．
【详解】由题意知，一元二次函数开口向上，函数的对称轴为，
对称轴在区间内，
所以，；
可得函数的值域是，故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图形特征，以及函数值域的求法，属基础题．
8.已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①定义域是； ②的值域是；
③是奇函数； ④是区间上的增函数．
其中推断正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据对勾函数的单调性，判断④错误．
【详解】①∵函数，
∴的定义域是，故①正确；
②，时：，
时：；时，；
故的值域是，故②正确；
③，是奇函数，故③正确；
④由，由于在内递减，在内递增，
∴在区间上先增后减，故④错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了函数定义域、值域问题，考察函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
9.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得函数是以4为周期的周期函数，进而利用时，函数 的解析式和函数的奇偶性，即可求解上的最小值，得到答案．
【详解】由题意知，即，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
∴时，，
∴当时，，
所以当时，函数的最小值为.
故选B．
【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数的图象，如图，
不妨设，则，关于直线对称，故，
且满足；
则的取值范围是：，
即．
故选．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
第II卷(非选择题 共70分)
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式可化为，令，求其在上的最大值，可求出的范围．
【详解】∵，则不等式可化为，
∵在单调递减，在单调递增；
又∵，，则在上的最大值为5．
则若使，在上恒成立，则，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了恒成立问题，采用了分离参数的方法，属于基础题．
12.已知函数的定义域为，值域为，则实数的取值集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数定义域和值域范围，可分析得到，解出即可.
【详解】解：因为函数的定义域为，值域为
所以在R上恒成立，且有解
所以，解得
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的定义域与值域，一元二次不等式的恒成立与能成立问题，一元二次不等式常结合二次函数图像进行求解.
13.设函数,，则函数的递减区间是________．
【答案】
【解析】
,如图所示，其递减区间是．
14.设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得为偶函数，进而分析可得原不等式转化为，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解可得的取值范围．
【详解】根据题意，且是定义在上的偶函数，
则，则函数为偶函数，
，
又由为增函数且在区间上是增函数，则，
解可得：或，
即的取值范围为，
故答案为；
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的奇偶性与单调性，属于中档题．
三．解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知全集，集合，非空集合．
Ⅰ求当时，；
Ⅱ若，求实数m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）或．
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
Ⅰ求出集合A，B的等价条件，结合并集，补集的定义进行求解即可
Ⅱ根据，建立不等式关系进行求解即可
【详解】解：Ⅰ，
当时，．
则，
或．
Ⅱ若，则，得，即，
即实数m的取值范围是
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及基本关系的应用，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
16.已知函数，为实数．
（1）若对任意，都有成立，求实数的值；
（2）若，求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的解析式写出对称轴即可；（2）根据对称轴是否在定义域内进行分类讨论，由二次函数的图象可分别得出函数的最小值．
【详解】（1）对任意，都有成立，
则函数的对称轴为，即，
解得实数的值为．
（2）二次函数，开口向上，对称轴为
①若，即时，函数在上单调递增，
的最小值为；
②若，即时，函数在上单调递减，
的最小值为；
③若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，的最小值为；
综上可得:
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，应用了分类讨论的思想，属于中档题．
17.若是定义在上的增函数，且对一切，满足.
（1）求的值；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）;（2）.
【解析】
分析】
（1）利用赋值法直接求解即可；（2）利用已知条件，结合函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．
【详解】（1）在中，
令，得，∴．
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∵是上的增函数，
∴，解得．
故不等式的解集为．
【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
18.已知是定义在R上的奇函数，当
（1）求时，的解析式；
（2）问是否存在这样正实数，，的值域为,若存在，求出所有的，值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或或
【解析】
【分析】
（1）根据为奇函数，可设，从而，从而，进而可得结果；（2）结合（1）可判断此时在上单调递增，从而可根据题意有
，结合，即可找出所有，值．
【详解】（1）设，则，于是；
又为奇函数，即；
即时，；
（2）假设存在这样的数，；
∵，且在时为增函数；
∴时，；
∴；解得；
即，或，或，或；
∵；
∴，的取值为，或，或．
【点睛】本题主要考查奇函数的定义，二次函数的单调性，以及增函数在闭区间上的值域求法，注意条件，属于中档题.