福建省宁德市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 9页

福建省宁德市高中同心顺联盟校 2019-2020 学年高一上 学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知全集 U={0，1，2，3，4}，集合 A={4}，集合 B={2}，则集合（∁UA）∪B=（　　） A. 2,3, B. 3, C. 1,2, D. 2. 函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 3. 下列两个函数是相等函数的是（　　） A. B. , C. , D. 4. 已知则 f（f（-1））=（　　） A. B. C. D. 5. 当 a＞0，且 a≠1 时，f（x）=loga（x+2）+3 的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 7. 函数 f（x）=2x+2x-3 的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 8. 如果函数 y=x2+（1-a）x+2 在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数 a 的取值范围 是（　　） A. B. C. D. 9. 函数 f（x）=x2ln|x|的图象大致是( ). A. B. C. D. 10. 已知，那么 a，b，c 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 11. 已知 f（x）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式 f （x+1）＞f（3-2x）的解集是（　　） A. B. C. D. 12. 已知 x0 是函数 f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若 x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞） 则（　　） A. , B. , C. , D. , 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知幂函数 y=f（x）的图象过（8，2），则 f（x）=______． 14. 设函数 f（x）=x2-2x+3，x∈[0，3]，则该函数的值域为______ ． 15. 已知 f（x）=，是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是______． 16. 给出下列说法： ①函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数；②若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元 素，则 k=1； ③若，则 f（x）=x2-2；④函数 y=log2（1-x）的单调减区间是（-∞，1）； 其中所有正确的序号是______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 求下列答式的值： （1） （2） 18. 已知集合 A={x|-1≤x≤6}，集合 B={x|m-1≤x≤2m+1}． （1）当 m=2 时，求 A∩B，A∩（∁RB）； （Ⅱ）若 A∪B=A，求实数 m 的取值范围， 19. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f（x）=-x2+4x． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数 f（x）在 R 上的图象（不用列表）； （3）讨论直线 y=m（m∈R）与 y=f（x）的图象的交点个数． 20. 函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）证明函数 f（x）在（-1，1）上是增函数． 21. 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少 p%， 10 年后森林面积变为．已知到今年为止，森林面积为． （1）求 p%的值； （Ⅱ）到今年为止该森林已砍伐了多少年？ 22. 已知函数 f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且 a≠1． （1）若方程 f（x）-g（x）=0 的一个实数根为 2，求 t 的值； （2）当 0＜a＜1 且 t=-1 时，求不等式 f（x）≤g（x）的解集； （3）若函数 F（x）=af（x）+tx2-2t+1 在区间（-1，2]上有零点，求 t 的取值范围． 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={4}，B={2}， ∴∁UA={0，1，2，3}，（∁UA）∪B={0，1，2，3}． 故选：C． 进行并集和补集的运算即可． 本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】C 【解析】解：要使函数有意义，则， 得得 x＞2， 即函数的定义域为（2，+∞）， 故选：C． 根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可． 本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关 键． 3.【答案】B 【解析】解：A．g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数 B．f（x）=1，函数的定义域为{x|x≠0}，g（x）=1，定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义 域相同，是相等函数 C．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞），两个函数的定义域不 相同，不是相等函数 D．f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域是 R，两个函数的定义域和对应法则 不相同，不是相等函数 故选：B． 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 本题主要考查相等函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关 键． 4.【答案】B 【解析】解：∵ ∴f（-1）=2-1=， f（f（-1））=f（）==． 故选：B． 推导出 f（-1）=2-1=，从而 f（f（-1））=f（），由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】D 【解析】解：当 a＞0，且 a≠1 时，对于函数 f（x）=loga（x+2）+3， 令 x+2=1，求得 x=-1，y=3，可得函数的图象经过定点（-1，3）． 再根据它的的图象恒过定点 P，则点 P 坐标为（-1，3）， 故选：D． 令真数等于 1，求出 x、y 的值，可得函数的图象经过定点的坐标． 本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 6.【答案】C 【解析】解：结合奇函数的定义可知，y=，为非奇非偶函数，故 B，D 错误； 结合幂函数的性质可知，y=x-1 在（0，+∞）上单调递减，故 A 错误； 而 y=x3 为奇函数且在（0，+∞）上单调递增，故 C 正确； 故选：C． 结合奇函数的定义可知，y=，为非奇非偶函数，可判断，B，D，结合幂函数的性质可 知，y=x-1 在（0，+∞）上单调递减，可判断 A 即可． 本题主要考查了奇函数的定义及函数单调性的简单应用，属于基础试题． 7.【答案】B 【解析】解：∵函数 f（x）=2x+2x-3，函数 f（x）在 R 上单调递增是连续函数， ∵f（0）=1-3＜0，f（1）=2+2-3＞0， ∴f（0）f（1）＜0， 在区间（1，2）内函数 f（x）存在零点， 故选：B． 根据函数零点的判断条件，即可得到结论． 本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的 关键． 8.【答案】A 【解析】解：∵y=x2+（1-a）x+2 在区间（4，+∞）上是增函数， ∴对称轴 x=-≤4，解得 x≤9； 故选：A． y=x2+（1-a）x+2 在区间（4，+∞）上是增函数，只需要对称轴在 x=4 的左边即可； 考查二次函数图象的理解，单调区间与对称轴的关系； 9.【答案】A 【解析】解：函数 f（x）=x2ln|x|是偶函数，排除选项 B，D； 当 x＞1 时，y＞0，x∈（0，1）时，y＜0， 排除 C， 故选：A． 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可． 本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题常用 方法． 10.【答案】A 【解析】解：log0.90.8＞log0.90.9=1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜0.60=1， ∴a＞b＞c． 故选：A． 利用函数的单调性容易得出 log0.90.8＞1，0.50.6＜0.60.6＜0.60.5＜1，从而可得出 a，b，c 的大小关系． 本题考查了对数函数、指数函数和幂函数的单调性，增函数和减函数的定义，考查了推 理能力和计算能力，属于基础题． 11.【答案】C 【解析】解：∵f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且在[-3，0]上是减函数， ∴f（x）在[0，3]上为减函数， 由 f（x+1）＞f（3-2x） 可得， 解可得，0， 故不等式的解集为{x|0}， 故选：C． 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解 集． 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键， 综合考查函数性质的应用． 12.【答案】A 【解析】解：∵f（x）=lnx-（x＞0）， ∴f′（x）=+=， ∵x＞0，∴f′（x）＞0， ∴f（x）单调递增． ∵已知 x0 是函数 f（x）=lnx-（x＞0）的一个零点，若 x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜0，f（x2）＞0． 故选：A． 本题利用 f′（x）的正负确定 f（x）的单调性，从而求解． 本题考查了导函数的应用来确定单调性，属于基础题． 13.【答案】 【解析】解：设所求幂函数为：f（x）=xα， ∵幂函数 f（x）的图象经过点（8，2）， ∴2=8α，∴α=， ∴f（x）=． 故答案为：． 设出幂函数，利用幂函数经过的点，求解即可． 本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查． 14.【答案】[2，6] 【解析】解；∵f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2， ∴其对称轴 x=1 穿过闭区间[0，3]， ∴函数在 x∈[0，3]时，f（x）min=f（1）=2， 又 f（x）在[0，1]上递减，在[1，3]递增， f（0）=3，f（3）=6，f（0）＜f（3）， ∴函数在 x∈[0，3]时，f（x）max=6， ∴该函数的值域为[2，6]． 故答案为：[2，6]． 利用二次函数在 x∈[0，3]的性质即可求得答案． 本题考查二次函数的性质，着重考查二次函数的单调性与最值，考查分析解决问题的能 力，属于中档题． 15.【答案】（1，+∞） 【解析】解：f（x）=，是 R 上的增函数， 可得：解得 a＞1． 则 a 的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）． 利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可． 本题考查分段函数的单调性的应用，列出不等式组是解题的关键． 16.【答案】①④ 【解析】解：①函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数，正确； ②若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，k=0 时，方程化为 4x+4=0，解得 x=-1，满 足条件； k≠0 时，可得△=16-16k=0，解得 k=1．综上可得：k=0 或 1，因此不正确； ③若，则 f（x）=x2-2，定义域为{x|x≥0}，因此不正确； ④函数 y=log2（1-x）的单调减区间是（-∞，1），正确． 其中所有正确的序号是①④． 故答案为：①④． ①利用反函数的定义即可判断出正误； ②若集合 A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，对 k 需要分类讨论，k≠0 时，利用判别式 △=0 即可得出； ③没有给出函数 f（x）的定义域． ④利用符合函数的单调性即可判断出正误． 本题考查了函数的定义域及其单调性、方程的解与判别式的关系、分类讨论方法、反函 数、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 17.【答案】解：（1）原式=； （2）原式==． 【解析】（1）进行指数式和根式的运算即可； （2）进行对数的运算即可． 本题考查了指数式、根式和对数式的运算，考查了对数的换底公式，考查了计算能力， 属于基础题． 18.【答案】解：（1）m=2 时，B={x|1≤x≤5}，A={x|-1≤x≤6}， ∴A∩B={x|1≤x≤5}，∁RB={x|x＜1 或 x＞5}，A∩（∁RB）={x|-1≤x＜1 或 5＜x≤6}； （Ⅱ）∵A∪B=A， ∴B⊆A， ∴①B=∅时，m-1＞2m+1，解得 m＜-2； ②B≠∅时，，解得， 综上，实数 m 的取值范围为． 【解析】（Ⅰ）m=2 时，可以求出集合 B，然后进行交集和补集的运算即可； （Ⅱ）根据 A∪B=A 即可得出 B⊆A，从而可讨论 B 是否为空集：B=∅时，m-1＞2m+1；B≠∅ 时，，解出 m 的范围即可． 本题考查了描述法的定义，交、并、补的混合运算，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】解：（1）由题意， 当 x＜0 时，-x＞0，f（-x）=-（-x）2+4（-x）=-x2-4x， 又∵函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数， ∴当 x＜0 时，f（x）=f（-x）=-x2-4x， ∴函数 f（x）的解析式为： f（x）=． （2）由（1），知： 当 x＜0 时，f（x）=-x2-4x=-（x+2）2+4；当 x≥0 时，f（x）=-x2+4x=-（x-2）2+4． ∴f（x）=，大致图象如下： （3）根据（2）中 f（x）大致图象，可知 ①当 m＜0 时，直线 y=m 与 y=f（x）的图象有 2 个交点； ②当 m=0 时，直线 y=m 与 y=f（x）的图象有 3 个交点； ③当 0＜m＜4 时，直线 y=m 与 y=f（x）的图象有 4 个交点； ④当 m=4 时，直线 y=m 与 y=f（x）的图象有 2 个交点； ⑤当 m＞4 时，直线 y=m 与 y=f（x）的图象有没有交点． 【解析】本题第（1）题利用偶函数的性质公式 f（x）=f（-x）可得当 x＜0 时的函数表 达式，则即可得到函数 f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数 f（x）的解析 式化为顶点式，即可画出 f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中 f（x）大致图象， 对 m 分类讨论即可得到交点个数． 本题主要考查根据偶函数的性质写出函数完整表达式，二次函数图象画法，数形结合思 想，分类讨论思想的应用．本题属中档题． 20.【答案】解：（1）∵是定义在（-1，1）上的奇函数， ∴f（0）==0， ∴b=0，f（x）=， ∵， ∴=， 解可得，a=1， ∴f（x）=； （2）设-1＜x1＜x2＜1， 则 f（x1）-f（x2）===， ∵-1＜x1＜x2＜1， ∴x1-x2＜0，2-x1x2＞0，（2+）（2+）＞0， ∴f（x1）-f（x2）＜0 即则 f（x1）＜f（x2）， ∴函数 f（x）在（-1，1）上是增函数． 【解析】（1）由奇函数的性质可得 f（0）=0，结合，代入可求 a，b； （2）先设-1＜x1＜x2＜1，然后根据单调性的定义比较 f（x1）与 f（x2）的大小即可判 断． 本题主要考查了利用奇函数的性质及定义求解参数，及函数的单调性的定义在单调性的 判断及证明中的应用． 21.【答案】解：（Ⅰ）设砍伐 n 年后的森林面积为 f（n），则 f（n）=a（1-P%）n． 由题意可得 f（10）=，即 a（1-P%）10=， 解得：p%=1-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f（n）=a•（）n=a•（）， 令 f（n）=可得，（）==（）， ∴=，即 n=5． 故到今年为止，该森林已砍伐 5 年． 【解析】（Ⅰ）得出砍伐 n 年后的森林剩余面积关于 n 的函数 f（n），根据 f（10）=计 算 p%的值； （Ⅱ）令 f（n）=，根据指数运算性质计算 n． 本题考查了函数解析式求解，函数值计算，也可以用等比数列性质来计算，属于中档 题． 22.【答案】解：（1）∵1 是关于 x 的方程 f（x）-g（x）=0 的一个解， ∴loga3-loga（4+t）=0， ∴3=4+t， ∴t=-1； （2）当 0＜a＜1 且 t=-1 时，不等式 f（x）≤g（x）可化为 loga（x+1）≤loga（2x-1），得 x+1≥2x-1＞0， 解得＜x≤2； （3）F（x）=af（x）+tx2-2t+1 =x+1+tx2-2t+1=tx2+x-2t+2， 令 tx2+x-2t+2=0， 即 t（x2-2）=-（x+2）， ∵x∈（-1，2]，∴x+2∈（1，4]， ∴t≠0，x2-2≠0； ∴=-=-[（x+2）+]+4， ∵2≤（x+2）+≤， ∴-≤-[（x+2）+]+4≤4-2， ∴-≤≤4-2， 故 t≤-2 或 t≥． 【解析】（1）由题意得 loga3-loga（4+t）=0，从而解得 3=t+4． （2）由题意得 loga（x+1）≤loga（2x-1），由对数函数的单调性可得，从而解得；． （3）化简 F（x）=tx2+x-2t+2，从而令 tx2+x-2t+2=0，讨论可得=-=-[（x+2）+]+4，从而 解得． 本题考查利用对数函数单调性解对数不等式，利用分离参数的方法求参数的取值范围， 属于中档题．